Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
piątek, 02 listopada 2012
Dzielenie pisemne liczb naturalnych

Jak pamiętamy w dzieleniu mamy dzielną i dzielnik.

Dzielna to liczba, którą się dzieli, a dzielnik to ta, która dzieli.

W zapisie wygląda to tak:

 

dzielenie liczb naturalnych



Tak wygląda każde dzielenie. Jednak jeżeli chcemy podzielić pisemnie, to musimy zapisać to w specjalny sposób.

W jednym rzędzie zapisujemy dzielną i dzielnik, pomiędzy nimi znak dzielenie (:), ale nad dzielną rysujemy kreskę, nad którą potem zapisujemy kolejne cyfry wyliczone w procesie dzielenia, aż do otrzymania wyniku (ilorazu).

 

 

Wygląda to tak:



dzielenie liczb naturalnych

 

Teraz, na przykładzie 325 : 5 prześledzimy jak dokładnie wygląda dzielenie pisemne:


 

W dzieleniu cyfry dzielnej rozpatrujemy pojedynczo.


Bierzemy pierwszą cyfrę dzielnej i sprawdzamy czy mieści się w niej dzielnik a jeżeli mieści to ile razy. Nie ma znaczenia, czy takie dzielenie daje resztę czy nie. Następnie otrzymany wynik zapisujemy nad kreską (tylko całe liczby, bez reszty).

 

W naszym przypadku pierwszą liczbą dzielnej jest 3 a dzielnikiem 5.

 

3 : 5 = ?

 

5 nie mieści się w 3, więc nie otrzymujemy (w tym przypadku żadnego wyniku).

 

Jeżeli mamy taką sytuację, to musimy rozpatrzeć więcej niż jedną cyfrę dzielnej. Czyli liczbę, jaką jest połączona pierwsza i druga cyfra dzielnej. Jeżeli w dalszym ciągu nie możemy zmieścić dzielnika w tej liczbie, dobieramy jeszcze kolejną. I tak do skutku. W tym przykładzie musimy wziąć jeszcze jedną cyfrę – 3 i 2. razem 32

 

32 : 5 = 6 reszty 2

 

Resztę na razie pomijamy, a 6 zapisujemy nad kreską.

Ważne! Zapisujemy wynik z tego cząstkowego dzielenia nad ostatnią cyfrą dzielnej, którą wzięliśmy do dzielenia. Czyli skoro w naszym przypadku nie piszemy nic nad 3, zostawiamy miejsce puste i wynik (6) zapisujemy nad 2.


Wygląda to tak:

 

dzielenie liczb naturalnych



Teraz wykonujemy mnożenie. Liczbę zapisaną jako wynik mnożymy przez dzielnik i wynik tego mnożenia zapisujemy pod dzielną. Otrzymany wynik zapisujemy od końca (czyli od ostatniej liczby jak wchodziła w skład liczby dzielonej w lewo).

 

6 * 5 = 30

 

I 30 zapisujemy w naszym dzieleniu. Wygląda to tak:

 

dzielenie liczb naturalnych

 

Teraz należy przeprowadzić odejmowanie. Od liczby utworzonej z cyfr wziętych do dzielenia odejmujemy wynik. 

 

Dopisujemy to do pisemnego dzielenia wynik odejmowania.

 

Zapis wygląda tak:



dzielenie liczb naturalnych

 

Ponieważ 3 – 3 daje 0 to miejsce jakie tam mamy wykreślamy za pomocą =.

 

Teraz należy do otrzymanej w wyniku odejmowania cyfry 2 dopisujemy kolejną cyfrę z dzielnej. W naszym przypadku to ostania cyfra – 5. dalsze obliczenia będziemy przeprowadzać na tej liczbie.

 

Zapis wygląda tak:



dzielenie liczb naturalnych

 

Dzielimy 25 przez 5.

 

25 : 5 = 5

 

Otrzymane 5 zapisujemy nad kreską, potem je mnożymy przez dzielnik i wynik zapisujemy w kolejnym, niższym rzędzie.


Wygląda to tak:



dzielenie liczb naturalnych

 

 

Wynikiem mnożenia jest liczba 65.


Taka liczba jest zapisana nad kreską ponad dzielną.

 

Aby sprawdzić, czy dzielenie zostało wykonane prawidłowo należy pomnożyć otrzymany wynik przez dzielnik.

 

65 * 5 = 325

 

Jak widać mnożenie zostały wykonane prawidłowo.



 

21:22, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (10) »
czwartek, 13 września 2012
Mnożenie ułamków dziesiętnych - przykłady

W poprzednim wpisie opisałam, w jaki sposób mnożyć pisemnie. Teraz pora na przedstawienie kilku przykładów. W nauczeniu się liczenia pomoże samodzielna próba policzenia.

Tak więc najpierw podam przykład mnożenia, a potem dopiero sposób liczenia i wynik. Jeżeli chcecie, to zachęcam do samodzielnego rozwiązania, a potem dopiero sprawdzenia.

 

Pamiętajcie! Najpierw trzeba odpowiednio dobrze podpisać pod sobą czynniki, potem wymnożyć każdą cyfrę przez każdą cyfrę, odpowiednio podpisać, następnie pododawać je w słupku, policzyć przecinki i wstawić w odpowiednim miejscu w wyniku przecinek.

 

Zapraszam do samodzielnej próby:

 

 

Na początek coś łatwego:

 

0,734 * 3 = ?

 

 

mnożenie pisemne ułamków

 Zapisujemy czynniki w słupku, tak, żeby były dosunięte do prawej strony. Teraz rozpoczynamy mnożenie. 

 

mnożenie pisemne ułamków


Jak pomnożyliśmy:

 

4 * 3 = 12

 

2 zapisujemy pod 4 a 1 na razie zachowujemy w pamięci.

 

3 * 3 = 9

 

Dodajemy 1 „z pamięci”, otrzymujemy 10 (9 + 1 = 10) i 0 zapisujemy pod 3, 1 zatrzymujemy „w pamięci”.



7 * 3 = 21

 

Dodajemy 1 do 21, otrzymujemy 22 i podpisujemy pod 7 i 0.

 

Otrzymujemy:



mnożenie pisemne ułamków

 

Ponieważ w liczbie 0,734 mamy trzy miejsca po przecinku, więc w wyniku wstawiamy przecinek za trzecią cyfrą licząc od prawej.

 

mnożenie pisemne ułamków



Otrzymujemy 2,202 i to jest nasz wynik. Czy tak samo Wam wyszło?

 

 

 

Następny przykład:

 

 

212,281 * 2,52 = ?

 

 

Obliczenia wyglądają następująco:



mnożenie pisemne ułamków

 

Ponieważ w czynnikach jest w sumie pięć miejsc po przecinku, więc w wyniku wstawiamy przecinek po piątym miejscu od prawej strony. Otrzymujemy wynik 534, 94812

 

 

Jeszcze jeden przykład:

 

mnożenie pisemne ułamków


 W czynnikach są trzy miejsca po przecinku i po wymnożeniu wstawiamy przycinek w trzecie miejsce od prawej strony. 

 

16:41, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (7) »
poniedziałek, 10 września 2012
Mnożenie ułamków dziesiętnych

Ułamki dziesiętne mnoży się bardzo podobnie do mnożenia liczb naturalnych. Po prostu przy mnożeniu pisemnym zapisujemy je pod sobą, tak, jakby były to liczby naturalne, na chwilę zapominając o przecinku. „Zapominamy” w cudzysłowie, dalej przecinki są na swoich miejscach, musimy je koniecznie zapisywać. I jak najbardziej mają wpływ na wynik. Ale na krótki moment, kiedy wykonujemy działania, wykonujemy je tak, jakby nie było przecinków.

 

Po uzyskaniu wyniku liczymy ile mieliśmy w czynnikach przecinków (w sumie, we wszystkich) i oddzielamy przecinkiem tyle liczb (od prawej do lewej) ile było przecinków.

 

Zobaczymy teraz to na przykładzie:



mnożenie ułamków dziesiętnych

Tak wygląda nasze działanie.

 

A tak będzie wyglądało zapisane i policzone pisemnie:

 

Teraz zobaczymy to, co tłumaczyłam wcześniej.

Zapisujemy liczby, tak samo jakbyśmy zapisywali liczby naturalne, to znaczy jedną nad drugą, dosunięte do prawej strony:



mnożenie ułamków dziesiętnych

Następnie mnożymy je tak, jak normalne liczby, nie zwracając uwagi na przecinki.



mnożenie ułamków dziesiętnych

 

Po wymnożeniu dodajemy do siebie oba ilorazy:



mnożenie ułamków dziesiętnych

 

 

I teraz, żeby otrzymać kompletny wynik bierzemy i wstawiamy przecinki. Ponieważ z liczbie 12,52 mamy dwa miejsca po przecinku a w liczbie 1,3 jedno, to w sumie mamy trzy miejsca po przecinku. I tyle wstawiamy w otrzymanej na końcu sumie



mnożenie ułamków dziesiętnych

 

Otrzymujemy wynik !



17:59, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (4) »
poniedziałek, 16 kwietnia 2012
Mnożenie liczb naturalnych - liczby z zerami

Jeżeli mamy pomnożyć liczby zakończone zerami, to nasz zapis będzie wyglądał tak:

 

321 00

45 0

 

Musimy sobie wyobrazić, że odcinamy zera, przez chwilę będziemy liczyli tak, jakby ich nie było, wrócimy co nich za chwilę:



mnożenie zapis w słupku

 

A teraz wykonujemy mnożenie pisemne (o tym, jak się to robi pisałam wcześniej):



mnożenie i dodawanie

  

Pomnożyliśmy, liczbę 321 przez 45 i otrzymane wyniki 1605 i 1284 dodaliśmy do siebie. I tak dochodzimy do prawie kompletnego wyniku 14445. Prawie kompletnego, ale jeszcze nie całkiem.

 

I po tak długim wstępie dochodzimy wreszcie do najważniejszego, do tego, co jest tematem tego wpisu. Dodajemy zera!

 

I teraz liczymy, ile zer „odcięliśmy” i dopisujemy je na końcu działania.

 

mnożenie ze strzałką

 

I mamy gotowy wynik -

W tym przypadku są to trzy zera, więc dopisujemy na końcu wyniku trzy zera. Całość jest przedstawiona poniżej:

 

kompletny wynik

 

 

„U góry” w liczbie 321000 mieliśmy dwa 0, na „dole” w liczbie 450 jedno 0, razem 3 i dopisaliśmy trzy 0. Mamy kompletny wynik, czyli liczbę 14 445 000



10:17, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (2) »
wtorek, 03 kwietnia 2012
Mnożenie liczb naturalnych

Jesteśmy przy działaniach na ułamkach dziesiętnych. Omówiłam dodawanie i odejmowanie, teraz pora na mnożenie. Ponieważ nie pisałam wcześniej niczego o mnożeniu pisemnym, a mnożenie ułamków dziesiętnych jest bardzo podobne do mnożenia pisemnie liczb naturalnych, zacznę od mnożenia liczb naturalnych, sposobem pisemnym.

 

Mnożenie przeprowadzimy na przykładzie mnożenia liczby 321 przez 123.

 

 

Podpisujemy liczby jedna pod drugą w poniższy sposób:

 

321

123

 

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez każdą. Zaczynamy od tyłu.

Bierzemy po jednej liczbie z cyfry 123 (tej zapisanej  poniżej) po kolei i przez nią mnożymy cyfry liczby 321 (pojedynczo). Zapisujemy w rzędach, od końca, pierwszy wynik zapisujemy pod cyfrą, przez którą mnożymy, następne zapisujemy na kolejnych pozycjach w lewo.

 

Teraz już przerabiamy przykład. Mnożymy pojedynczo wszystkie cyfry z liczby 321 przez 3.

 

3 * 1 = 3

3 * 2 = 6

3 * 3 = 9

 

Wynik zapisujemy pod odpowiednimi cyframi.

mnożenie pisemne

 

Teraz bierzemy następną cyfrę, kolejną od końca, czyli – 2.



mnożenie pisemne

 

W czarnym kolorze są pozostawione wcześniej dokonane obliczenia, na kolorowo zaznaczyłam nowe. 

 

Mnożymy:

 

2 * 1 = 2

2 * 2 = 4

2 * 3 = 6

 

 

Teraz została nam w ostatnia cyfra – 1

 

mnożenie pisemne

 

 

Każdą cyfrę z liczby 321 mnożymy przez 1 i zapisujemy od końca. Znowu czarnym kolorem zapisane są wcześniejsze obliczenia, na kolorowo przykłady wyliczone teraz.

 

 

 

1 * 1 = 1

 

1 * 2 = 2

 

1 * 3 = 3

 

Na samym końcu uzyskane wyniki (iloczyny) musimy dodać. Dodając musimy pamiętać o zachowaniu odpowiednich miejsc jedności, dziesiątek, setek... jeżeli pomylimy się, wynik nie będzie prawidłowy. 

 

mnożenie pisemne

 

 

W ten sposób pisemnie pomnożyliśmy 321 przez 123, uzyskując wynik 39 483.



 

 



 

13:32, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (1) »
poniedziałek, 20 lutego 2012
Ułamki dziesiętne - cd

Ułamki dziesiętne, podobnie jak liczby naturalne, zapisujemy w dziesiętnym układzie pozycyjnym:

 

 

Cyfry grupujemy od prawej do lewej, po trzy od końca.

 

pozycje liczb naturalnych

 

W zapisie możemy też zastosować kropki, oddzielające poszczególne grupy od siebie:

 

3.825.747

 

Tu też mamy ciekawostkę związaną z językiem angielskim. Otóż w angielskim oddzielamy poszczególne grupy od siebie przecinkami:

Powyższy przykład zapisany po angielsku wyglądałby tak:

 

3,825,747

 

A ponieważ wcześniej mówiliśmy o zapisie ułamków dziesiętnych po polsku i po angielsku to zobaczmy od razu, jak wyglądałaby liczba z ułamkiem dziesiętnym w obu językach:

 

Po polsku:

 

 

3.825.747,385

 

Po angielsku:

 

3,825,747.385

 

 

Cyfry te same, liczba wygląda zupełnie inaczej, zapis angielski w Polsce jest rozumiany zupełnie inaczej, i na odwrót. Ponieważ w różnych sytuacjach spotykamy się z tekstami angielskimi to trzeba sobie zdawać sprawę z tej różnicy.

 

 




20:15, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
sobota, 31 grudnia 2011
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW - część 2

W poprzednim wpisie opisałam w jaki sposób oblicza się najmniejszą wspólną wielokrotność. Teraz chciałam wyjaśnić, po co nam jest ta umiejętność. Jak pisałam wcześniej, największy wspólny dzielnik potrzebny nam był, aby w prosty i elegancki sposób skracać ułamki. Najmniejsza wspólna wielokrotność też nam jest potrzebna, aby obliczać coś związanego z ułamkami.

 

Umiejętność obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności jest nam potrzebna do dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach, a więc wykorzystujemy ją do sprowadzania do wspólnego mianownika.

 

Na przykład:

Weźmy ułamek:

 

 

 Rozkładamy te ułamki (mianowniki) na czynniki pierwsze.

 



Zakreślamy kółeczkiem wszystkie czynniki, które się powtarzają w obu rozkładach:



 

 

Wspólne czynniki to 2, 2 i 2.

 

Obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność:

 

56 * 2 * 3 = 336

 

Pomnożyliśmy pierwszą liczbę przez te czynniki, które w jej rozkładzie nie występują (a występują w rozkładzie drugiej liczby).

W celu sprawdzenia możemy pomnożyć drugą liczbę przez czynniki, które występują w rozkładzie pierwszej liczby, a nie występują w rozkładzie drugiej. Jeżeli wynik będzie taki sam, to obliczenia są prawidłowe.

 

48 * 7 = 336

 

Oba wyniki są takie same, jak na razie obliczenia są poprawne.

 

Szukana przez nas najmniejsza wspólna wielokrotność to 336.

 

NWW (56, 48) = 336

 

 

Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie mianownikiem naszych ułamków.



 

Żeby sprawdzić ile wynoszą liczniki, musimy ustalić o ile razy musimy je powiększyć. W tym celu najpierw sprawdzamy ile razy zostały powiększone mianowniki.


Zrobienie tego jest proste, należy 336 (obliczony przez nas mianownik), podzielić przez liczbę wyjściową:

 

336 : 56 = 6

336 : 48 = 7

 

Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika, musimy zarówno licznik jak i mianownik tego samego ułamka pomnożyć przez tą samą liczbę. Wiemy już przez ile (6 i 7), więc możemy przestąpić do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika:

 




Ułamek  stanowi wynik naszego dodawania. Teraz należy go skrócić, czyli doprowadzić do jak najprostszej postaci. Takiej, która jest już nieskracalna.Czyli licznik i mianownik podzielić przez taką samą liczbę.


Wcześniej pisałam, jakie cechy liczb pozwalają na stwierdzenie, przez jakie liczby dana liczba jest podzielna.

 

Możemy zastosować tę wiedzę w praktyce.

W przypadku licznika – 81 – możemy dodać 8 + 1 co daje 9, czyli 81 jest podzielne przez 3 i przez 9.

Natomiast w przypadku 336 też możemy dodać cyfry do siebie i otrzymamy: 3 + 3 + 6 = 12, czyli 336 jest podzielne przez 3 i przez tę liczbę skrócimy nasz ułamek.

 

Czyli skrócenie ułamka wygląda następująco:





Możemy też obliczyć największy wspólny dzielnik (NWD), korzystając z teorii zamieszczonej we wcześniejszym wpisie:

 

Zaczynamy od rozkładu liczb na czynniki pierwsze:





W ten sposób też dowiedzieliśmy się, że największym wspólnym dzielnikiem liczb 81 i 336 jest liczba 3.

 

NWD (81, 336) = 3





22:09, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (2) »
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW

Najmniejszą wspólną wielokrotność dwu lub więcej liczb naturalnych wyznaczamy w następujący sposób:


Dane liczby (np.) 48 i 84 rozkładamy na czynniki pierwsze.

 

 

Mamy wspólne czynniki 2, 2 i 3. Iloczyn tych liczb to największy wspólny dzielnik (2 * 2 * 3 = 12).

Żeby obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność mnożymy jedną z liczb wyjściowych przez ten czynnik (lub te czynniki), które nie występowały w rozkładzie drugiej liczby.


W naszym przypadku mnożymy liczbę 48 przez 7 – 7 występuje tylko w rozkładzie drugiej liczby.


Możemy też pomnożyć 84 przez 2 * 2 – w rozkładzie liczby 48 występuje więcej czynników 2 niż w rozkładzie 84, więc 84 mnożymy przez nie.



Działanie wygląda następująco:

48 * 7 = 336
lub
84 * 2 * 2 = 336

Obliczona najmniejsza wspólna wielokrotność to 336.

Zapisujemy ją w następujący sposób:

NWW (48, 84) = 336

 

 

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech i więcej liczb możemy wyznaczyć na dwa sposoby.
Dane mamy liczby: 48, 72 i 40.



I sposób:

Przeprowadzamy rozkład na czynniki pierwsze:

 

 

Zaznaczamy wspólne czynniki:

 

 

Mnożymy liczby przez te czynniki, które nie występowały w ich własnym rozkładzie:

48 * 3 * 5 = 720

72 * 2 * 5 = 720

40 * 2 * 3 * 3 * 3 = 720

W mnożeniu nie uwzględniamy tych liczb, które występują w rozkładzie danej liczby. Dlatego mnożymy 48 przez 3 i 5, drugiej 3 nie uwzględniamy, ona już występuje w rozkładzie liczby 48. Podobnie w mnożeniu liczby 72 wystarczy pomnożenie przez 2 i 5, nie mnożymy przez 3, bo 3 już jest w rozkładzie liczby 72.

NWW (48, 72, 40) = 720

 

 

II sposób:

Rozkładamy na czynniki pierwsze dwie z liczb:

 

 

Zaznaczamy elementy wspólne:

 

 

Obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb:

48 * 3 = 144

NWW (48, 72) = 144

Teraz rozkładamy na czynniki pierwsze otrzymaną liczbę 144 i trzecią liczbę, 40.

 

 

Teraz zakreślamy wspólne czynniki:

 

 

Obliczamy teraz najmniejszą wspólną wielokrotność:

144 * 5 = 720

NWW (144, 40) = 720


14:17, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
niedziela, 25 grudnia 2011
Największy wspólny dzielnik – NWD

Czasem natrafiamy na ułamek tworzony przez dwie duże liczby i musimy go skrócić. Możemy oczywiście skracać po kolei przez kolejne liczby, przez które i licznik i mianownik są podzielne, ale nie wygląda to dobrze, nie wygląda to fachowo. Jeżeli chcemy to zrobić w sposób naprawdę ładny i elegancki – z pomocą przychodzi nam zastosowanie największego wspólnego dzielnika.

 

 

Teraz parę słów o tym jak go odnaleźć.

 

Największy wspólny dzielnik kilku liczb, to największa liczba, przez którą dzielą się wszystkie te liczby.

 

 

Dla przykładu poszukamy NWD dla 48 i 72.

 

Najpierw rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze:



 

Mamy już rozkład liczb na czynniki pierwsze.

 

Teraz zakreślamy te czynniki, które występują wspólnie (i w jednym i drugim przypadku).



 

Wspólne czynniki dla liczb 48 i 72 to: 2, 2, 2 i 3.

Teraz należy je pomnożyć przez siebie:

 

2 * 2 * 2 * 3 = 24

 

i mamy liczbę 24, która jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 72. Jeżeli mielibyśmy ułamek  to po skróceniu go przez 24 otrzymalibyśmy  . Moglibyśmy oczywiście skracać przez poszczególne czynniki pierwsze, ale poprawne i prawidłowe jest skrócenie ułamka raz, przez największą możliwą liczbą.

 

Zapis największego wspólnego dzielnika wygląda następująco:

 

NWD [48, 72] = 2 * 2 * 2 * 3 = 24

 



01:56, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
sobota, 17 grudnia 2011
Rozkład na czynniki pierwsze - cd

I jeszcze kilka przykładów rozkładu na czynniki pierwsze:



 

2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 576

 

 

 

2 * 2 * 3 * 61 = 732

 

 

Rozkładając liczbę na czynniki pierwsze możemy znaleźć wszystkie jej dzielniki. Dzielnikami tymi są wszystkie jej czynniki pierwsze a także wszystkie iloczyny tych czynników.

 

Jako przykład rozpatrzymy liczbę 24:

 

Dzielnikami są liczby 2 i 3, ale również ich iloczyny:

 

2 * 2 = 4

2 * 2 * 2 =8

2 * 3 = 6

2 * 2 * 3 = 12

 

Jak widać iloczynami liczby 24 są: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24

 

Liczby 1 i 24 też są dzielnikami, ponieważ każda liczba dzieli się przez 1 i przez samą siebie. Liczba 24 ma 8 dzielników.

 

Dzielniki liczny 24 możemy zapisać tak:

 

Dzielniki24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

 

23:26, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (1) »
 
1 , 2 , 3




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną matematyka@matematycznie.za.pl