Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
piątek, 08 czerwca 2012
Mnożenie ułamków dziesiętnych przez 10; 100 i 1000

Ciekawym i szczególnym zagadnieniem związanym z mnożeniem ułamków dziesiętnych jest mnożenie ich przez liczby takie jak 10; 100; 1000 i wyższe – wielokrotności liczby 10.

 

Jeżeli mnożymy ułamek przez taką liczbę, to właściwie wcale nie musimy wykonywać mnożenia. Wystarczy, że przesuniemy przecinek w prawo o tyle miejsc, ile mnożnik ma zer.

 

Jeżeli mnożymy przez 10, to przecinek przesuwamy w prawo o jedno miejsce.

Jeżeli mnożymy przez 100, to przecinek przesuwamy w prawo o dwa miejsca.

Jeżeli mnożymy przez 1000, to przecinek przesuwamy w prawo o trzy miejsca.

 

I tak dalej.....

 

 

 

A teraz garść przykładów:

 

3,68 * 10 = 36,8 – czyli przecinek został przesunięty o jedno miejsce w prawo (bo liczba 10, nasz mnożnik, ma jedno 0).

 

15,732 * 100 = 1573,2 – przecinek został przesunięty w prawo o dwa miejsca (bo liczba 100, nasz mnożnik w tym przypadku, ma dwa zera).

 

 

Może się też zdarzyć, że po wymnożeniu otrzymujemy liczę już bez przecinka.

 

Na przykład:

 

15,34 * 100 = 1534 – ponieważ mnożnikiem była liczba 100, przesunęliśmy przecinek o dwa miejsca. W liczbie mieliśmy tylko dwa miejsca po przecinku, czyli po przesunięciu przecinka otrzymaliśmy liczbę naturalną, a nie ułamek dziesiętny i tak właśnie zapisujemy – jako liczbę.

 

Inny przykład:

 

0,357 * 1000 = 357 – wynikiem jest liczba naturalna, ponieważ przecinek przesunęliśmy o trzy miejsca w prawo. Ułamek trzysta pięćdziesiąt siedem tysięcznych pomnożony razy tysiąc dał nam liczbę trzysta pięćdziesiąt siedem!

 



Podczas mnożenia przez liczbę 10 i jej wielokrotności możemy trafić na jeszcze jeden szczególny przypadek.

Może się zdarzyć, że nasza mnożna będzie miała mniej miejsc po przecinku niż nasz mnożnik zer.

 

Tak jak w poniższym przykładzie:

 

5,7 * 1000 – mnożnik ma trzy zera, czyli przesuwamy przecinek w prawo o trzy miejsca. Ale po przecinku mamy tylko jedno miejsce... jakie jest wyjście? Ano, liczba, którą otrzymamy jako wynik będzie znacznie większa, niż 5,7. Musimy przesunąć przecinek o trzy miejsca, ale skoro ich nie mamy, to znaczy, że musimy je dopisać. Wiadomo, że po przecinku w ułamku dziesiętnym możemy dopisywać sobie zera, jeżeli jest nam to potrzebne. Bo to i tak nie zmienia wartości ułamka.

 

5,7 = 5,700 – te liczby są równe sobie, mają dokładnie taką samą wartość.

 

Ale, ale, jeżeli obie liczby są sobie równe, to do naszego mnożenia możemy równie dobrze wziąć 5,7 jak i 5,700. Czyli możemy zapisać:

 

5,7 * 1000 = 5,700 * 1000 = 5700

 

Proste i logiczne. Żeby sobie jeszcze ułatwić, nie musimy w ogóle zapisywać, że w ułamku, w mnożnej, są zera.

 

Zapis:

5,7 * 1000 = 5700 – jest całkowicie poprawny

 

 

Możemy się też spotkać z przypadkiem następującym:

 

0,00583 * 1000 = 5,83 (nie zapisujemy 0005,83, pomijamy początkowe zera)



22:43, matematycznie , Ułamki
Link Komentarze (2) »
piątek, 02 marca 2012
Odejmowanie ułamków dziesiętnych

Podobnie do dodawania postępujemy w przypadku odejmowania ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym. Zwracamy uwagę na właściwe podpisywanie cyfr i przecinków, a w otrzymanej różnicy – wyniku – przecinek stawiamy pod przecinkiem.



Odejmujemy liczbę która jest niżej od tej, które jest nad nią. W przypadku poniższym odejmujemy 5,443 od 7,587. musimy odejmować liczby w kolejności, tak jak są zapisane od strony prawej. Czyli najpierw odejmujemy 3 (odjemnik) od 7 (odjemna) i zapisujemy wynik – 4 (różnica). Potem 4 od 8 i znów zapisujemy wynik 4. Dalej 4 od 5 i wynik – 1. Potem przepisujemy przecinek i odejmujemy liczby całe. Czyli 5 od 7, z wynikiem 2.

Odejmowanie ułamków dziesiętnych 7,587 - 5,443

 

Jeżeli zaistnieje sytuacja, w której liczba odjemnika, czyli liczby zapisanej niżej jest większa od odjemnej, tej zapisanej u góry liczby nad nią, więc liczba, którą mamy odjąć jest większa od liczby, od której odejmujemy, posiłkujemy się cyfrą wcześniejszą.

Widać to na przykładzie niżej – w liczbie wyżej mamy dwa zera, a pod nimi 5 i 8. W jaki sposób pomagamy sobie?

Od liczby wcześniejszej zabieramy 10. Dziesięć, ponieważ zawsze jedna część liczby bliżej przecinka (bliżej lewej strony) to dziesięć części liczby dalej od przecinka. Po prostu liczba na dalszej pozycji jest dziesięć razy mniejsza od jej poprzedniczki. Taki urok ułamków dziesiętnych.

W tym przykładzie mamy 0, od którego odejmujemy 8. Tego nie zrobimy (akurat w tym przypadku, bo ogólnie możemy odjąć, uzyskamy po prostu liczbę – 8). Sięgamy do liczby wyższej. Tutaj też mamy 0. Więc sięgamy jeszcze dalej i mamy 4. Bierzemy 1 z czwórki, zostaje tam tylko 3. Nad 5 w głowie zapisujemy sobie 10 i zabieramy się za liczenie. Ponieważ odejmujemy od strony prawej do lewej, to musimy znaleźć liczbę, od której odejmiemy nasze końcowe 8. Teraz możemy już wziąć 10 znad 5 (w odjemniku) i zapisać 10 nad 8. Nad 5 zostaje 9.

10 – 8 = 2 i tyle zapisujemy.

9 – 5 = 4 i to zapisujemy.

3 – 7 = i tu znowu jest problem, musimy sięgnąć tym razem do całości. Bierzemy 1 z 5, u nas zmienia się na 10 i to dziesięć dodajemy do 3.

(10 + 3) – 7 = 6

Przepisujemy przecinek.

4 (bo tyle zostało) – 3 = 1

A poniżej widać, jak to wygląda w słupku.



Odejmowanie ułamków dziesiętnych 5,400 - 3,758

 

Jeżeli mamy odjąć 5,4 – 3,758 to ułatwiamy sobie obliczenia wpisując zera w części ułamkowej odjemnej.



Odejmowanie ułamków dziesiętnych 5,400 - 3,758

 

Odejmijmy 7 – 2,245:

Liczbę naturalną możemy zapisać zapisując ją, przecinek i dopisując odpowiednią liczbę zer.

 

Odejmowanie ułamków dziesiętnych 7,000 - 2,245

Jak wiemy z wpisu o dodawaniu ułamków liczba zer wpisana po przecinku i liczbach w ułamku dziesiętnym nie zmienia sensu liczby ani działania. Z drugiej strony nie wpisanie zer po przecinku i liczbach nie jest błędem, ma nam ułatwić liczenie. Jeżeli czujemy się wystarczająco pewni, że nie pomylimy się, możemy zer nie dopisywać.





14:44, matematycznie , Ułamki
Link Komentarze (2) »
wtorek, 21 lutego 2012
Działania na ułamkach dziesiętnych - dodawanie

Dodawanie i odejmowanie pisemne ułamków dziesiętnych wykonujemy bardzo podobnie jak na liczbach naturalnych. Musimy pamiętać o prawidłowym zapisie ułamków – całości pod całościami, przecinek pod przecinkiem, części dziesiętne pod częściami dziesiętnymi, setne pod setnymi itd.

 

3,758 + 7,231 + 5422 = 16,411

 

Jak widać w tym zapisie, przecinek jest pod przecinkiem, części dziesiętne pod dziesiętnymi, setne pod setnymi a tysięczne pod tysięcznymi.

 

 

Możemy też mieć ułamki, które nie mają części tysięcznych, ani nawet setnych. I musimy je dodać czy odjąć od takich, które część setną mają. Na przykład: 3,785 i 7,23 i 5,4. Jak zapisać dodawanie takich ułamków?

 

Możemy sobie pomóc korzystając z reguły, którą wcześniej podałam. O tym, że każdy ułamek można rozszerzyć lub skrócić, dodając na jego końcu zera, lub je skreślając. W tym przypadku nie mamy możliwości skreślania zer, ponieważ żaden ułamek nie kończy się zerami. Zresztą potrzebne byłoby nam to tylko w najdłuższym (tym, który ma części setne i tysięczne). Skoro nie możemy skreślić, to musimy dopisać.

 

Dopisujemy zera na pozycjach części setnych i tysięcznych, w tych ułamkach, które są krótsze. Otrzymujemy: 3,785 i 7,230 i 5,400. Zapisujemy je jeden pod drugim, przecinek pod przecinkiem, tak jak to było w poprzednim przykładzie:

 

 

3,785+7,230+5,400=16,388

 

Dopisywanie zer absolutnie nie jest obowiązkowe. Jest dobrą metodą do celów szkoleniowych, ale w praktyce nie stosuje się tego. Bez dodatkowych zer zapis naszego dodawania wygląda tak:

 

 

3,785+7,23+5,4=16,388

 

 

Tutaj też mamy całości pod całościami, części dziesiętne pod dziesiętnymi i tak dalej.

 

 

 

Możemy mieć sytuację, gdy do ułamka dodajemy liczbę całkowitą.

Wyobraźmy sobie dodawanie 2 i 0,236. W 2 nie mamy przecinka. Ale wiemy, że jest on za liczą całkowitą. Czyli wygląda to mniej więcej tak: 2, i po przecinku możemy dopisać dowolną ilość zer, zgodnie z zasadą rozszerzania ułamków. Czyli równie dobrze może być to 2,0 jak i 2,00 jak też 2,000. To ostatnie ma części tysięczne, podobnie jak ułamek, który mamy dodać, więc zapis nie stanowi już problemu i wygląda tak:

 

2,000+0,236=2,236

 

 

A ponieważ zer nie musimy dopisywać, to możemy to zapisać tak:

 

2+0,236=2,236

 

Od nas zależy, jak jest nam łatwiej i wygodniej.

 



17:25, matematycznie , Ułamki
Link Dodaj komentarz »
poniedziałek, 20 lutego 2012
Ułamki dziesiętne - jeszcze raz

Do zapisu ułamków dziesiętnych dziesiątkowy system pozycjonujący rozszerzamy w prawą stronę, o części ułamkowe, oddzielone od całości przecinkiem.

 

 

            Przecinek

           dziesiętny

Całości

Części dziesiętne

Części setne

Części tysięczne

Części dziesięcio-

tysięczne

Części stutysięczne

Części milionowe

 

 

Jedna dziesiąta:

 

Elementy ułamka jedna dziesiąta



Piętnaście setnych:



 

Elementy ułamka piętnaście setnych

Sto pięćdziesiąt siedem tysięcznych (tysiącznych)

 

Elementy ułamka sto pięćdziesiąt siedem tysięcznych

 

 

Tysiąc pięćset siedemdziesiąt trzy dziesięciotysięczne:

 

Elementy ułamka tysiąc pięćset siedemdziesiąt trzy dziesięciotysięczne

 

 

Trzy milionowe:

 

Ułamek dziesiętny trzy milionowe  część milionowa – na szóstym miejscu po przecinku

 

 

 

Ułamki dziesiętne możemy rozszerzać dopisując na końcu dowolną liczbę zer. Nie zmienia to wartości ułamka.

 

0,7 = 0,70 = 0,700 = 0,7000

 

 

Ułamki dziesiętne możemy skracać, skreślając dowolną liczbę zer końcowych. Nie zmienia to wartości ułamka.

 

0,5000 = 0,500 = 0,50 = 0,5












20:39, matematycznie , Ułamki
Link Dodaj komentarz »
czwartek, 16 lutego 2012
Ułamki dziesiętne

Od poprzedniego wpisu minęło półtora miesiąca. Przepraszam za tak długą przerwę i biorę się do pracy – zamieszczam kolejne wpisy.

 

 

We wpisach wcześniejszych dość dokładnie i wyczerpująco zostały omówione ułamki zwykłe. Teraz przyszła kolej na ich bliskich krewnych – ułamki dziesiętne. Znacznie łatwiejsze w obliczeniach, chociaż wcale nie łatwiejsze do zrozumienia.

 

Trochę teorii:

 

Ułamkami dziesiętnymi nazywamy takie ułamki, których mianownikiem są liczby 10, 100, 1000 i inne wielokrotności 10. Czyli ułamek dziesiętny zawsze ma w mianowniku 10 lub wielokrotność 10.

 

Na przykład:

 

 

 

Ułamki zamieszczone powyżej mają w mianowniku 10 lub wielokrotność 10, ale zapisane są jak ułamki zwykłe. Ułamki dziesiętne zapisujemy jednak nieco inaczej, bez kreski ułamkowej. Najpierw zapisujemy część całkowitą, potem przecinek dziesiętny i część ułamkową.

Jeżeli w ułamku nie ma części całkowitej to wpisujemy 0, wstawiamy przecinek i następnie część ułamkową.

 

Powyższe przykłady zapisane jako ułamki dziesiętne wyglądają tak:

 

  czytamy „trzy dziesiąte”

 

 

  czytamy „dwadzieścia trzy setne”

 

  czytamy „trzy i siedem dziesiątych”

 

  czytamy „15 i dwieście osiemdziesiąt osiem tysięcznych” (poprawna jest też forma „tysiącznych”, można spotkać się z jedną lub drugą)

 

 

Należy uważać w przypadku zapisu ułamków dziesiętnych w języku angielskim. Zamiast przecinka używana jest tam kropka. Więc ostatni ułamek z powyższego przykładu wyglądał by tak: 15.288



00:06, matematycznie , Ułamki
Link Dodaj komentarz »
sobota, 29 stycznia 2011
Działania na ułamkach - dzielenie

Dzielenie ułamków polega na pomnożeniu jednego ułamka przez odwrotność drugiego:

 

 

Wynik dzielenia nazywa się: iloraz.

Na przykład:

 

11:53, matematycznie , Ułamki
Link Komentarze (1) »
Działania na ułamkach - mnożenie

Mnożenie ułamków polega na pomnożeniu licznika przez licznik i mianownika przez mianownik.

 

 

Wynik mnożenia nazywa się: iloczyn.

Na przykład:

 

 

11:52, matematycznie , Ułamki
Link Komentarze (1) »
Działania na ułamkach - sprowadzanie do wspólnego mianownika

Troszkę trudniejsza jest sprawa, gdy mamy dodawać lub odejmować ułamki o różnych mianownikach.

 

Żeby wykonać takie działanie musimy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.

Jaka jest najmniejsza wspólna liczba (wielokrotność), którą da się podzielić na 2 i da się podzielić na 3?

  • liczba 4 – nie!

  • liczba 5 – nie!

  • liczba 6 – tak!

Wykonujemy sprowadzenie do wspólnego mianownika i dodawanie:

 


 

W pierwszym ułamku mianownik 2 został powiększony 3 razy (6 dzielone na 2 jest 3), wobec tego musimy też powiększyć trzy razy licznik (1 razy 3 jest 3).

W drugim ułamku mianownik 3 powiększono 2 razy (6 dzielone na 3 jest 2); licznik też musimy powiększyć dwa razy (1 razy 2 jest 2).

11:51, matematycznie , Ułamki
Link Komentarze (5) »
piątek, 28 stycznia 2011
Działania na ułamkach - odejmowanie

Podobnie do dodawania wygląda sprawa odejmowania ułamków o takich samych mianownikach. Odejmujemy od licznika odjemnej licznik odjemnika, zaś mianownik pozostaje bez zmian.

 

Wynik odejmowania nazywa się: różnica.

Na przykład:

 

 

23:28, matematycznie , Ułamki
Link Dodaj komentarz »
Działania na ułamkach - dodawanie

Na ułamkach możemy przeprowadzać działania algebraiczne, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Możemy je te rozszerzać i skracać.

Dodawanie (sumowanie) ułamków polega na dodaniu do siebie liczników (o ile mianownik wszystkich składników jest taki sam) i pozostawieniu mianownika bez zmian.

 

 

Wynik dodawania nazywa się: suma.

Na przykład:

21:00, matematycznie , Ułamki
Link Dodaj komentarz »
 
1 , 2




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną matematyka@matematycznie.za.pl