Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
poniedziałek, 16 maja 2011
Procenty - podsumowanie



Bardzo dużą część bloga poświęciłam na dokładne omówienie procentów i różnych zagadnień z nimi związanych. Teraz czas na podsumowanie:

 

Zobaczymy co dowiedzieliśmy się o wartościach procentowych, do czego nam służą i co opisują. Otaczający nas świat pełen jest wartości procentowych i wartości wyrażanych w procentach.

 

EKONOMIA:

  • lokaty i kredyty bankowe

  • podatki VAT, PIT i inne

  • handel – obniżki i podwyżki cen

  • promocje i bonifikaty

  • dochód narodowy i budżet państwa

 

STATYSTYKA:

  • wykresy i diagramy procentowe

  • punkty procentowe

 

PRZYRODA WOKÓŁ NAS:

  • składy procentowe minerałów i kopalin

  • składy procentowe roztworów

  • składy procentowe stopów

  • składy procentowe organizmów żywych



21:38, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
czwartek, 12 maja 2011
Próby złota i srebra

Jako uzupełnienie porzedniego wpisu o próbach złota i srebra podaję jak wyglądają wzory prób jakie wybijane są na stopach:

 

 

Wzory prób złota:

 


 

 

 

Wzory prób srebra:

 


 

Cechy probiercze stosowane są też na stopach platyny i palladu. Są one oczywiście inne od przedstaionych powyżej. Inne są też wzory dla cechów probierczych stosowanych w dentystyce (złota, platyny i palladu).

01:11, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (2) »
Próby złota i srebra

Omawianie zagadnień związanych z procentami dobiega końca. Nadeszła pora na temat mniej kojarzony z procentami, nawet niekoniecznie uważany za związany z matematyką.

 

Zajmiemy się biżuterią, a właściwie materiałami, z których wykonane są elementy biżuterii, pierścionki, bransoletki itp.

 

Biżuteria wykonana z metali szlachetnych nie jest zrobiona z czystego złota czy srebra. Metale te są zbyt miękkie, aby mogły z nich powstawać wyroby użytkowe.

 

To, co potocznie nazywamy wyrobem złotym lub srebrnym jest w rzeczywistości stopem (połączeniem) złota lub srebra i innego, twardego metalu.

 

Przedmioty wykonane z takich stopów są oznakowane w specjalny sposób. Została na nich wybita próba (cecha probiercza), oznaczająca ilość czystego kruszcu w stopie, z którego powstał dany wyrób.

 

Próba pokazuje jaki jest stosunek masy czystego złota lub srebra w stopie do masy całego stopu:

 

 

 

Próba jest to więc wynik dzielenia (iloraz) wagi czystego metalu przez wagę całego wyrobu.

 

Wynik ten wyrażony jest w PROMILACH.

Próby zostały wprowadzone w celu ustandaryzowania ilości złota i domieszki.

 

Złoto dostępne jest w próbach: 960; 750; 585; 500; 375; 333. Próby nazywane są odpowiednio: pierwsza, druga, trzecia, czwarta, piąta i szósta.

Srebro dostępne jest w próbach: 925; 875; 830; 800. Próby to: pierwsza, druga, trzecia i czwarta.

 

Im wyższa próba, tym wyższa ilość cennego kruszcu.

 

Dzięki znajomości próby można od razu określić ile jest promili czystego kruszcu. Dla próby 960 ilość złota wynosi 960 promili a 40 promili to metal dodatkowy.

 

 

Teraz pora przejść do zadań:

 

Zadanie 1:

Złota bransoletka waży 20 g. Ile czystego złota znajduje się w niej, jeżeli próba wynosi 960?

 

Obliczamy ilość złota, czyli 960 promili z 20 gramów:

 

 

Odpowiedź:

Bransoletka zawiera 19,2 gramów czystego złota.

 

 

 

Zadanie 2:

Ile czystego złota znajduje się w bransoletce o wadze 20 g, ocechowanej próbą 585?

 

Obliczamy 585 promili z 20 g stopu:

 

 

Odpowiedź:

Bransoletka zawiera 11,7 gram czystego srebra.

 

 

 

Zadanie 3:

Zanosimy do jubilera srebrny złom w celu przerobienia go na bransoletkę. Oddajemy 22 gramy srebra próby 925 i 15 gramów srebra próby 800. Jaką próbą zostanie ocechowana nasza bransoletka?

 

Obliczamy ilość srebra w pierwszym stopie, czyli w 22 gramach próby 925:

 

 

W podobny sposób obliczamy drugą próbkę:

 

czystego srebra

 

Dodajemy do siebie wagi czystego srebra:

 

 

Dodajemy całkowitą wagę obu stopów:

 

 

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

 

 

 

Odpowiedź:

Bransoletka zostanie oznakowana próbą 875.

 

 

Zadanie 4:

Do złomu srebrnego z poprzedniego zadania jubiler dołożył 2 gramy miedzi. Jaką próbą zostanie teraz oznakowana bransoletka?

 

Waga czystego srebra nie ulega zmianie i wynosi 32,35 gramy. Zmieniła się natomiast waga bransoletki:

 

 

 

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

 

 

Odpowiedź:

Bransoletka zostanie oznaczona próbą 830.

 



00:51, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (2) »
sobota, 07 maja 2011
Promile

Poprzednio omawiałam procenty i działania na nich. Przypomnijmy sobie, że 1% to jedna setna część jakiejś całości, czyli ułamek o mianowniku 100 lub ułamek dziesiętny z dwoma miejscami po przecinku:

 

 

 

dla przykładu:

 

 

 

Promil natomiast jest jedną tysięczną częścią jakiejś całości. Jest więc ułamkiem o mianowniku 1000 lub ułamkiem dziesiętnym z trzema miejscami po przecinku.

 

Słowo promil pochodzi z łaciny, od słowa pro mille i oznacza na tysiąc. (definicja za „Słownikiem wyrazów obcych”).

 

Promil oznaczamy symbolem ‰.


 

Między promilem z procentem występuje następująca zależność:

 

 

A więc 1% jest 10 razy większy od 1‰, zaś 1 ‰ jest 10 razy mniejszy od 1%.

 

 

Przykłady promili:

 

 

 

 

Promilami posługujemy się wówczas, gdy omawiamy bardzo małe części jakiejś większej całości, na przykład zawartość alkoholu we krwi, próby złota, srebra, niektóre składniki chemiczne.

 

 

 

Obliczenia promili wykonujemy podobnie jak obliczenia procentów:

 

  • zmiana promili na liczbę:

 

 

 

 

  • zmiana liczby na promile

 

 

 

  • obliczanie promila danej liczby

 

 

Zadanie:

Obliczyć 15‰  liczby 600.

 

 

Odpowiedź:

15‰  liczby 600 równa się 9.

 

 

 

Zadanie:

Obliczyć 3‰  liczby 2000.

 

 

3‰  liczby 2000 wynosi 6.

 

 

 

  • zamiana promili na procenty (pomniejszamy promile 10 razy)

 

 

 

 

  • zamiana procentów na promile (powiększamy procent 10 razy)

 

 



20:25, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (4) »
czwartek, 05 maja 2011
Diagramy

Diagram (z języka łacińskiego diagramma) – to wykres przedstawiający przebieg jakiegoś zjawiska, w szczególności podający związek pomiędzy wielkościami fizycznymi. (definicja na podstawie „Słownika wyrazów obcych”)

 

 

Diagramy służą nam do obrazowego przedstawiania danych. Działają na naszą wyobraźnię i ułatwiają zrozumienie i zapamiętanie pewnych zjawisk.

 

Tę samą wartość można przedstawić przy pomocy różnych typów diagramów. Dobierając diagram warto zastanowić się jakie dane chcemy za jego pomocą przedstawić,  ponieważ w różnych rodzajach diagramów dane mogą wyglądać mniej lub bardziej przejrzyście.

 

 

Zobaczymy to na przykładzie procentowego składu powietrza.

Powietrze jest mieszaniną gazów:

  • azotu – 78%

  • tlenu – 21%

  • i innych gazów -1%

 

 

  1. Pierwszym typem wykresu będzie diagram kwadratowy.

Ma postać kwadratu o boku 10 jednostek – czyli kwadrat ma 100 kratek. Każda kratka odpowiada jednemu procentowi.

 

 

 

  1. Drugim rodzajem diagramu jest diagram prostokątny.

Jest on bardzo podobny do kwadratowego. Również ma postać figury o wymiarach 10 na 10 jednostek, ale zamiast kwadratów ma prostokąty. Jeden prostokąt opowiada 1 procentowi. Zaletą jest możliwość precyzyjniejszego przedstawienia dziesiętnych części procenta.

 

 

 

  1. Diagram kołowy

Jest trudniejszy do obliczenia i narysowania, ale dane przedstawione za jego pomocą prezentują się bardzo ładnie i dlatego jest popularny.

 

Najpierw musimy zamienić procenty na stopnie. Procentów mamy 100, a koło ma 360 stopni.

Więc 100% = 360º.

1% = 360º :100

1% = 3,6º.

 

Obliczamy, jaką część koła stanowią poszczególne składniki:

 

Gazy pozostałe – 1% - 3,6 º 

Tlen – 21 * 3,6 º  = 75,6 º 

Azot – 78 * 3,6 º  = 280,8 º 

 

Zaznaczamy promień koła i od tego promienia, przy pomocy kątomierza odmierzamy najpierw wartość pozostałych gazów. Zaznaczmy to miejsce na obwodzie koła i rysujemy drugi promień. Następnie odmierzamy wartość dla tlenu i analogicznie zaznaczamy. Ponieważ mamy trzy składniki, pozostała część koła reprezentuje ilość azotu. Oczywiście na potrzeby bloga wykonałam diagram na komputerze, korzystając z opcji arkusza kalkulacyjnego.

 

 

 

 

  1. Kolejnym diagramem jest diagram słupkowy.

W zależności od ustawienia słupki mogą być umieszczone pionowo lub poziomo. Zasada konstruowania jest prosta. Rysujemy układ współrzędnych (dla wartości dodatnich, czyli pierwszą ćwiartkę). Na jednej z osi zaznaczamy procenty a na drugiej nasze składniki powietrza. Słupki ze składnikami rysujemy do wysokości odpowiadającej  procentom.

 

 

 

W naszym przypadku widać, że diagram ze słupkami ustawionymi pionowo jest bardziej czytelny.

 

 

W przypadku składników powietrza inne diagramy nie mają zastosowania, chociaż oczywiście istnieją.

 

 

  1. Takim diagramem może być diagram liniowy.

Ma on postać pojedynczej linii, bądź kilku linii. Może obrazować trendy, zmiany w czasie, przyrost lub zmniejszanie się czegoś. Poprzez używanie kilku linii można porównywać ze sobą różne wartości.

 


 

Rysunek przedstawia jedynie poglądowy zarys wyglądu diagramu, nie jest oparty na żadnych danych.

 

 

  1. Odmianą diagramu liniowego jest diagram warstwowy.

Dane pokazane są w postaci całych, zaciemnionych pól. Rysunek pokazuje jedynie ogólny wygląd diagramu.

 

 

 

 

  1. Diagram kolumnowy stanowi połączenie diagramu kołowego i słupkowego.

Dane przedstawione są w postaci kolumny, a poszczególne składniki różnią się kolorami.

 

 

  1. Diagramem podobnym do kwadratowego jest sześcienny.

Taki diagram ma postać sześcianu o boku 10 jednostek. Ponieważ w diagramie jest 10*10*10 = 1000 jednostek, a 1 procent to aż 10 z nich, można łatwo przedstawiać ułamkowe części procentu. Największą wadą takiego rozwiązania jest jego przestrzenność i znaczne ukrycie danych znajdujących się „wewnątrz” diagramu.



22:20, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
piątek, 29 kwietnia 2011
Punkty procentowe

Często słyszymy informację, że coś wzrosło lub zmalało o kilka punktów procentowych. Co to oznacza? Czasem jest utożsamiane z procentami. Niestety mylnie, 10% i dziesięć punktów procentowych to najczęściej dwie zupełnie różne wielkości. Piszę najczęściej, bo w pewnych specyficznych warunkach ich wartość może być równa.

 

Więc cóż to za dziwo?

 

Według definicji punkty procentowe to różnica pomiędzy dwoma wielkościami podanymi w procentach.

 

 

Co to znaczy w praktyce?


Różnica pomiędzy procentem a punktem procentowy polega na tym, że punkt procentowy liczony jest od pewnej bazowej wartości. Jeżeli punkt procentowy wyraża zmianę, to właśnie w odniesieniu do jakiejś „bazy”, a nie do innej wartości. Wartość taka może pokazać zmianę, globalny trend, kierunek zmian. Może też określić, jak wygląda taka zmiana w stosunku do ogółu (na przykład ilość bezrobotnych w stosunku do ilości ludzi w kraju i zmienianie się tej wartości w czasie).

 

Jakie dane są najczęściej wyrażane w punktach procentowych? Takie jak stopy procentowe, inflacja, bezrobocie.

 

 

Jak to wygląda na przykładzie? Poniżej zamieszczę trzy zadania na podstawie których można zobaczyć jaka jest praktyczna różnica pomiędzy tymi wartościami.

 

 

Zadanie 1:

 

Klasa liczy 30 uczniów. Na obóz językowy wyjechało 40% uczniów. Rok później na taki sam obóz zgłosiło się już 50 % uczniów.

 

  1. O ile punktów procentowych zwiększyła się ilość uczestników?

  2. O ile osób zwiększyła się ilość uczestników?

  3. O ile procent zwiększyła się ilość uczestników?

 

Ad. 1.

 

Punkt procentowy to różnica w wielkościach wyrażonych w procentach, a więc:

 

50 – 40 = 10

 

Ilość uczestników zwiększyła się o 10 punktów procentowych.

 

 

Ad. 2.

 

Uczniów jest 30.

 

40 % z 30 to:

 

 

 

50 % z liczby 30 to:

 

 

Jak widać ilość uczestników zwiększyła się o 3.

 

Ad. 3.

 

Wykorzystując wzór na proporcję układamy:

 

 

 

Liczba uczestników zwiększyła się o 25%.

 

 

Teraz przećwiczymy to na jeszcze jednym przykładzie:

 

 

Zadanie 2:

 

Bank obniżył oprocentowanie kredytu z 15% na 13,5%.

 

  1. O ile punktów procentowych bank obniżył oprocentowanie kredytu?

  2. O ile procent mniej zapłaci kredytobiorca?

 

Ad. 1.

 

15 - 13,5 = 1,5 punktu procentowego

 

Bank obniżył oprocentowanie o 1,5 punktu procentowego

 

Ad. 2.

 

Wykorzystujemy wzór na proporcję:

 

 

 

Odsetki od kredytu zmniejszyły się o 10%.

Oznacza to zmniejszenie się wysokości odsetek o 10% od poprzedniej wielkości, nie w ogóle.

 

 

I jeszcze jedno zadanie:

 

 

Zadanie 3:

 

Bezrobocie wzrosło z11% do 13%.

 

  1. O ile punktów procentowych wzrosło bezrobocie?

  2. O ile procent wzrosło bezrobocie?

 

Ad.1.

13 – 11 = 2

 

Bezrobocie zwiększyło się o 2 punkty procentowe.

 

Ad. 2.

 

Znowu układamy proporcję:

 

 

 

Bezrobocie wzrosło w przybliżeniu o 18,18 %. Bezrobocie wzrosło o 18,18% w stosunku do poprzedniego poziomu. Podajemy, że w przybliżeniu i oznaczamy to symbolem ponieważ po wykonaniu działania nie można podać jednoznacznego, skończonego wyniku. 200 podzielone przez 11 daje 18,1818181818181818181818181818181818.......i tak w nieskończoność.

 



21:17, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (4) »
Kredyty - raty stałe

Poprzednio opisaliśmy, jak obliczać malejące raty kredytu. Teraz pokażę, jak obliczać wysokość raty stałej.

 

W przypadku kredytu z równymi ratami pojedynczą ratę obliczamy z wzoru:

 

 

gdzie:

 

R – rata kredytu

K – wysokość pożyczonego kapitału

n – liczba rat

q – współczynnik procentowy, obliczany z wzoru:

 

r – stopa procentowa wyrażona w ułamku,

m – ilość okresów kapitalizacji

 

Wzór ten może też być czasem zapisany w postaci: , ponieważ 1/12 umożliwia obliczanie oprocentowania dla jednego miesiąca kredytu a p/100 to przeliczenie stopy procentowej na ułamek. Wzór taki można zastosować jeżeli oprocentowanie podane jest w stosunku rocznym.

 

 

Przeanalizujemy wzór na przykładzie zadania:

 

Pożyczamy 2000 złotych na okres trzech miesięcy przy oprocentowaniu rocznym 24%.

 

R – wysokość raty

K – 2000 zł

n – 3

q -

 

 

Obliczenia:

 

 

 

Odpowiedź:

Rata kredytu wyniesie 693,50 złotych

 



17:07, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (2) »
wtorek, 26 kwietnia 2011
Kredyty - raty malejące

Poprzednio zajmowaliśmy się lokatami. Teraz pora na omówienie kolejnego tematu związanego z „bankowymi procentami” - kredytów. Najogólniej kredyt można opisać jako kwotę, którą pożyczamy pod pewnymi warunkami z banku. Musimy ją zwrócić w określonym terminie, w ratach i zapłacić dodatkową kwotę – odsetki od pożyczonego kapitału. Omówione zadania będą przykładowe i ogólne, ponieważ podczas zaciągania kredytu musimy uwzględniać dodatkowe czynniki, takie jak ubezpieczenie kredytu, prowizję za udzielenie i inne.


Kredyt można spłacać na dwa sposoby:

  • w ratach stałych (równych) - annuitowych

  • w ratach malejących

 

 

Zaczniemy od omówienia przykładu z ratą malejącą:


Pożyczamy z banku 1000 złotych na 4 miesiące, przy oprocentowaniu wynoszącym 18%.


Zaczynamy od podzielenia pożyczonej kwoty na 4 bo przez tyle miesięcy będziemy ją spłacać:


1000 : 4 = 250


250 złotych będzie częścią składową każdej raty. Drugą częścią będą odsetki od kredytu. Ta część raty będzie się zmieniała w każdym miesiącu w zależności od wysokości kapitału pozostałego do spłaty.


Obliczamy je w sposób następujący:




Liczymy jedną dwunastą, ponieważ kredyt jest oprocentowany w wysokości 18% rocznie, a ratę płacimy co miesiąc, więc musimy oprocentowanie podzielić na 12.


Pierwsza rata to:



Drugą ratę obliczmy od pozostałej części zadłużenia, czyli:



Odsetki od 750 złotych wynoszą:



 

W takim razie druga rata kredytu to:


 

Trzecią ratę obliczamy odejmując od kwoty kredytu dwie spłacone raty i obliczając należne odsetki:



 

I obliczamy ostatnią, czwartą ratę:



 

Jakie cechy kredytu spłacanego w ratach malejących są ważne i ciekawe?


Spłacamy odsetki tylko od pozostałej części kapitału i każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej. Nawet na przykładzie niewielkiej kwoty i bardzo krótkiego czasu spłacania widać, że wysokość odsetek zmienia się w sposób znaczący – pierwsze rata odsetkowa to 15 zł a ostatnia 3,75. Oczywiście, ze względu na szybki czas spłacania kredytu odsetki są niewielkie i nie są nadmiernie odczuwalne przy spłacaniu rat.

 

Duże różnice są odczuwalne przy pożyczaniu dużych kwot na dłuższy okres czasu, takich jak kredyty hipoteczne, warte kilkaset tysięcy złotych, udzielane na kilkadziesiąt lat. W takim przypadku różnica pomiędzy ratami z początkowego okresu spłacania kredytu a końcowego może wynosić od kilkuset do nawet ponad 1000 złotych (w zależności od wysokości kredytu, jego oprocentowania i marży).

 

W takim też przypadku najlepiej widać największe wady takiego rozwiązania – raty spłacane przez pierwsze lata są bardzo wysokie i wymagają bardzo dużej zdolności kredytowej. Jednak w porównaniu z kredytem spłacanym w ratach stałych taki system spłat (malejących) jest bardziej opłacalny i daje możliwości zaoszczędzenia znacznej kwoty odsetek.

11:23, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
wtorek, 12 kwietnia 2011
Procent składany - przykłady

Jak wygląda obliczanie zadania przy kapitalizacjach częstszych niż roczna?


Zadanie:

Wpłacamy 1000 zł na dwuletnią lokatę. Stopa oprocentowania wynosi 4%. Kapitalizacja następuje do pół roku. Ile wyniosą odsetki po upływie tego okresu i jaką kwotę otrzymamy po zakończeniu lokaty?


Dane:

Kapitał – 1000 zł (K)

Stopa oprocentowania – 4% (r)

Liczba lat – 2 (n)

Liczba kapitalizacji w ciągu roku – 2 (m)


Szukane:

Odsetki po dwóch latach - ?

Kapitał plus odsetki po dwóch latach - ?


Rozwiązanie:


Po podstawieniu danych do wzoru mamy:

 

Odpowiedź:

Odsetki po dwóch latach wyniosą 82,43 złote, a po zakończeniu lokaty otrzymamy 1082,43 zł.

 


Teraz drugie zadanie, trochę bardziej skomplikowane.


Zadanie

Wpłacamy 1000 zł na lokatę półroczną, z miesięczną kapitalizacją odsetek. Lokata jest oprocentowana w wysokości 5% rocznie. Ile pieniędzy otrzymamy po zakończeniu lokaty?


Dane:

K – 1000

r – 5%

m – 12

n - ½


Szukane:

Kn – ?


Rozwiązanie:

 

Odpowiedź:

Kapitał i odsetki wyniosą 1025,28 zł

 


Jeżeli okresów kapitalizacyjnych w roku jest więcej to obliczanie odsetek jest bardziej skomplikowane. Przy lokatach długotrwałych, z częstą kapitalizacją obliczenie wymagałby ogromnej cierpliwości, uwagi i skupienia. W takich sytuacjach można obliczenia wspomagać tablicami bankowymi albo korzystać z arkuszy kalkulacyjnych i lub innych programów komputerowych. Przy obliczaniu zysków z lokat długotrwałych należy też uwzględnić sytuację ekonomiczną i zmieniające się stopy procentowe.

20:41, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
Procent składany - wzory

W tym wpisie omówiłam sposób obliczania procentu składanego na konkretnym przykładzie. Obliczenia są proste i szybkie do wykonania. Jednak z reguły spotykamy się z sytuacją, gdy pieniądze są ulokowane na długi okres czasu z wielokrotnym naliczaniem odsetek i kapitalizacją. Z taką sytuacją spotykamy się na przykład przy modnych i popularnych obecnie lokatach antybelkowych, w których pieniądze zdeponowane nawet na dwa lata podlegają codziennej kapitalizacji.


Wówczas ręczne i stopniowe obliczanie było żmudne i długotrwałe. Obliczenia ułatwia wzór na procent składany:


gdzie:

K – kapitał

n – ilość okresów kapitalizacji

- czynnik procentowy, jako r wstawiamy wartość stopy procentowej

 


Wzór ten występuje też w postaci:


gdzie

r – stopa procentowa wyrażona już w ułamku.


Teraz przeliczymy nasze zadanie według wzoru:


Nasze zadanie łatwo było policzyć, ponieważ mieliśmy tylko trzy okresy kapitalizacji


Możemy mieć jednak sytuację, gdzie będziemy musieli policzyć wiele okresów kapitalizacyjnych, które mogą być krótsze niż rok. W praktyce przy zakładaniu lokat trafiamy na lokaty roczne, półroczne, kwartalne, miesięczne, dziesięciodniowe, jednodniowe i inne, z kapitalizacją dzienną, miesięczna itp.

 


Aby obliczyć procent składany przy okresie kapitalizacji krótszym niż rok wprowadzamy wzór nieco zmodyfikowany:


K – kapitał

r – stopa procentowa (w ułamku)

m – liczba kapitalizacji w roku

n – liczba lat

18:01, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (4) »
 
1 , 2 , 3 , 4




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną