Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
piątek, 29 kwietnia 2011
Punkty procentowe

Często słyszymy informację, że coś wzrosło lub zmalało o kilka punktów procentowych. Co to oznacza? Czasem jest utożsamiane z procentami. Niestety mylnie, 10% i dziesięć punktów procentowych to najczęściej dwie zupełnie różne wielkości. Piszę najczęściej, bo w pewnych specyficznych warunkach ich wartość może być równa.

 

Więc cóż to za dziwo?

 

Według definicji punkty procentowe to różnica pomiędzy dwoma wielkościami podanymi w procentach.

 

 

Co to znaczy w praktyce?


Różnica pomiędzy procentem a punktem procentowy polega na tym, że punkt procentowy liczony jest od pewnej bazowej wartości. Jeżeli punkt procentowy wyraża zmianę, to właśnie w odniesieniu do jakiejś „bazy”, a nie do innej wartości. Wartość taka może pokazać zmianę, globalny trend, kierunek zmian. Może też określić, jak wygląda taka zmiana w stosunku do ogółu (na przykład ilość bezrobotnych w stosunku do ilości ludzi w kraju i zmienianie się tej wartości w czasie).

 

Jakie dane są najczęściej wyrażane w punktach procentowych? Takie jak stopy procentowe, inflacja, bezrobocie.

 

 

Jak to wygląda na przykładzie? Poniżej zamieszczę trzy zadania na podstawie których można zobaczyć jaka jest praktyczna różnica pomiędzy tymi wartościami.

 

 

Zadanie 1:

 

Klasa liczy 30 uczniów. Na obóz językowy wyjechało 40% uczniów. Rok później na taki sam obóz zgłosiło się już 50 % uczniów.

 

  1. O ile punktów procentowych zwiększyła się ilość uczestników?

  2. O ile osób zwiększyła się ilość uczestników?

  3. O ile procent zwiększyła się ilość uczestników?

 

Ad. 1.

 

Punkt procentowy to różnica w wielkościach wyrażonych w procentach, a więc:

 

50 – 40 = 10

 

Ilość uczestników zwiększyła się o 10 punktów procentowych.

 

 

Ad. 2.

 

Uczniów jest 30.

 

40 % z 30 to:

 

 

 

50 % z liczby 30 to:

 

 

Jak widać ilość uczestników zwiększyła się o 3.

 

Ad. 3.

 

Wykorzystując wzór na proporcję układamy:

 

 

 

Liczba uczestników zwiększyła się o 25%.

 

 

Teraz przećwiczymy to na jeszcze jednym przykładzie:

 

 

Zadanie 2:

 

Bank obniżył oprocentowanie kredytu z 15% na 13,5%.

 

  1. O ile punktów procentowych bank obniżył oprocentowanie kredytu?

  2. O ile procent mniej zapłaci kredytobiorca?

 

Ad. 1.

 

15 - 13,5 = 1,5 punktu procentowego

 

Bank obniżył oprocentowanie o 1,5 punktu procentowego

 

Ad. 2.

 

Wykorzystujemy wzór na proporcję:

 

 

 

Odsetki od kredytu zmniejszyły się o 10%.

Oznacza to zmniejszenie się wysokości odsetek o 10% od poprzedniej wielkości, nie w ogóle.

 

 

I jeszcze jedno zadanie:

 

 

Zadanie 3:

 

Bezrobocie wzrosło z11% do 13%.

 

  1. O ile punktów procentowych wzrosło bezrobocie?

  2. O ile procent wzrosło bezrobocie?

 

Ad.1.

13 – 11 = 2

 

Bezrobocie zwiększyło się o 2 punkty procentowe.

 

Ad. 2.

 

Znowu układamy proporcję:

 

 

 

Bezrobocie wzrosło w przybliżeniu o 18,18 %. Bezrobocie wzrosło o 18,18% w stosunku do poprzedniego poziomu. Podajemy, że w przybliżeniu i oznaczamy to symbolem ponieważ po wykonaniu działania nie można podać jednoznacznego, skończonego wyniku. 200 podzielone przez 11 daje 18,1818181818181818181818181818181818.......i tak w nieskończoność.

 



21:17, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (4) »
Kredyty - raty stałe

Poprzednio opisaliśmy, jak obliczać malejące raty kredytu. Teraz pokażę, jak obliczać wysokość raty stałej.

 

W przypadku kredytu z równymi ratami pojedynczą ratę obliczamy z wzoru:

 

 

gdzie:

 

R – rata kredytu

K – wysokość pożyczonego kapitału

n – liczba rat

q – współczynnik procentowy, obliczany z wzoru:

 

r – stopa procentowa wyrażona w ułamku,

m – ilość okresów kapitalizacji

 

Wzór ten może też być czasem zapisany w postaci: , ponieważ 1/12 umożliwia obliczanie oprocentowania dla jednego miesiąca kredytu a p/100 to przeliczenie stopy procentowej na ułamek. Wzór taki można zastosować jeżeli oprocentowanie podane jest w stosunku rocznym.

 

 

Przeanalizujemy wzór na przykładzie zadania:

 

Pożyczamy 2000 złotych na okres trzech miesięcy przy oprocentowaniu rocznym 24%.

 

R – wysokość raty

K – 2000 zł

n – 3

q -

 

 

Obliczenia:

 

 

 

Odpowiedź:

Rata kredytu wyniesie 693,50 złotych

 



17:07, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (2) »
wtorek, 26 kwietnia 2011
Kredyty - raty malejące

Poprzednio zajmowaliśmy się lokatami. Teraz pora na omówienie kolejnego tematu związanego z „bankowymi procentami” - kredytów. Najogólniej kredyt można opisać jako kwotę, którą pożyczamy pod pewnymi warunkami z banku. Musimy ją zwrócić w określonym terminie, w ratach i zapłacić dodatkową kwotę – odsetki od pożyczonego kapitału. Omówione zadania będą przykładowe i ogólne, ponieważ podczas zaciągania kredytu musimy uwzględniać dodatkowe czynniki, takie jak ubezpieczenie kredytu, prowizję za udzielenie i inne.


Kredyt można spłacać na dwa sposoby:

  • w ratach stałych (równych) - annuitowych

  • w ratach malejących

 

 

Zaczniemy od omówienia przykładu z ratą malejącą:


Pożyczamy z banku 1000 złotych na 4 miesiące, przy oprocentowaniu wynoszącym 18%.


Zaczynamy od podzielenia pożyczonej kwoty na 4 bo przez tyle miesięcy będziemy ją spłacać:


1000 : 4 = 250


250 złotych będzie częścią składową każdej raty. Drugą częścią będą odsetki od kredytu. Ta część raty będzie się zmieniała w każdym miesiącu w zależności od wysokości kapitału pozostałego do spłaty.


Obliczamy je w sposób następujący:




Liczymy jedną dwunastą, ponieważ kredyt jest oprocentowany w wysokości 18% rocznie, a ratę płacimy co miesiąc, więc musimy oprocentowanie podzielić na 12.


Pierwsza rata to:



Drugą ratę obliczmy od pozostałej części zadłużenia, czyli:



Odsetki od 750 złotych wynoszą:



 

W takim razie druga rata kredytu to:


 

Trzecią ratę obliczamy odejmując od kwoty kredytu dwie spłacone raty i obliczając należne odsetki:



 

I obliczamy ostatnią, czwartą ratę:



 

Jakie cechy kredytu spłacanego w ratach malejących są ważne i ciekawe?


Spłacamy odsetki tylko od pozostałej części kapitału i każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej. Nawet na przykładzie niewielkiej kwoty i bardzo krótkiego czasu spłacania widać, że wysokość odsetek zmienia się w sposób znaczący – pierwsze rata odsetkowa to 15 zł a ostatnia 3,75. Oczywiście, ze względu na szybki czas spłacania kredytu odsetki są niewielkie i nie są nadmiernie odczuwalne przy spłacaniu rat.

 

Duże różnice są odczuwalne przy pożyczaniu dużych kwot na dłuższy okres czasu, takich jak kredyty hipoteczne, warte kilkaset tysięcy złotych, udzielane na kilkadziesiąt lat. W takim przypadku różnica pomiędzy ratami z początkowego okresu spłacania kredytu a końcowego może wynosić od kilkuset do nawet ponad 1000 złotych (w zależności od wysokości kredytu, jego oprocentowania i marży).

 

W takim też przypadku najlepiej widać największe wady takiego rozwiązania – raty spłacane przez pierwsze lata są bardzo wysokie i wymagają bardzo dużej zdolności kredytowej. Jednak w porównaniu z kredytem spłacanym w ratach stałych taki system spłat (malejących) jest bardziej opłacalny i daje możliwości zaoszczędzenia znacznej kwoty odsetek.

11:23, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
wtorek, 12 kwietnia 2011
Procent składany - przykłady

Jak wygląda obliczanie zadania przy kapitalizacjach częstszych niż roczna?


Zadanie:

Wpłacamy 1000 zł na dwuletnią lokatę. Stopa oprocentowania wynosi 4%. Kapitalizacja następuje do pół roku. Ile wyniosą odsetki po upływie tego okresu i jaką kwotę otrzymamy po zakończeniu lokaty?


Dane:

Kapitał – 1000 zł (K)

Stopa oprocentowania – 4% (r)

Liczba lat – 2 (n)

Liczba kapitalizacji w ciągu roku – 2 (m)


Szukane:

Odsetki po dwóch latach - ?

Kapitał plus odsetki po dwóch latach - ?


Rozwiązanie:


Po podstawieniu danych do wzoru mamy:

 

Odpowiedź:

Odsetki po dwóch latach wyniosą 82,43 złote, a po zakończeniu lokaty otrzymamy 1082,43 zł.

 


Teraz drugie zadanie, trochę bardziej skomplikowane.


Zadanie

Wpłacamy 1000 zł na lokatę półroczną, z miesięczną kapitalizacją odsetek. Lokata jest oprocentowana w wysokości 5% rocznie. Ile pieniędzy otrzymamy po zakończeniu lokaty?


Dane:

K – 1000

r – 5%

m – 12

n - ½


Szukane:

Kn – ?


Rozwiązanie:

 

Odpowiedź:

Kapitał i odsetki wyniosą 1025,28 zł

 


Jeżeli okresów kapitalizacyjnych w roku jest więcej to obliczanie odsetek jest bardziej skomplikowane. Przy lokatach długotrwałych, z częstą kapitalizacją obliczenie wymagałby ogromnej cierpliwości, uwagi i skupienia. W takich sytuacjach można obliczenia wspomagać tablicami bankowymi albo korzystać z arkuszy kalkulacyjnych i lub innych programów komputerowych. Przy obliczaniu zysków z lokat długotrwałych należy też uwzględnić sytuację ekonomiczną i zmieniające się stopy procentowe.

20:41, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
Procent składany - wzory

W tym wpisie omówiłam sposób obliczania procentu składanego na konkretnym przykładzie. Obliczenia są proste i szybkie do wykonania. Jednak z reguły spotykamy się z sytuacją, gdy pieniądze są ulokowane na długi okres czasu z wielokrotnym naliczaniem odsetek i kapitalizacją. Z taką sytuacją spotykamy się na przykład przy modnych i popularnych obecnie lokatach antybelkowych, w których pieniądze zdeponowane nawet na dwa lata podlegają codziennej kapitalizacji.


Wówczas ręczne i stopniowe obliczanie było żmudne i długotrwałe. Obliczenia ułatwia wzór na procent składany:


gdzie:

K – kapitał

n – ilość okresów kapitalizacji

- czynnik procentowy, jako r wstawiamy wartość stopy procentowej

 


Wzór ten występuje też w postaci:


gdzie

r – stopa procentowa wyrażona już w ułamku.


Teraz przeliczymy nasze zadanie według wzoru:


Nasze zadanie łatwo było policzyć, ponieważ mieliśmy tylko trzy okresy kapitalizacji


Możemy mieć jednak sytuację, gdzie będziemy musieli policzyć wiele okresów kapitalizacyjnych, które mogą być krótsze niż rok. W praktyce przy zakładaniu lokat trafiamy na lokaty roczne, półroczne, kwartalne, miesięczne, dziesięciodniowe, jednodniowe i inne, z kapitalizacją dzienną, miesięczna itp.

 


Aby obliczyć procent składany przy okresie kapitalizacji krótszym niż rok wprowadzamy wzór nieco zmodyfikowany:


K – kapitał

r – stopa procentowa (w ułamku)

m – liczba kapitalizacji w roku

n – liczba lat

18:01, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (4) »
niedziela, 10 kwietnia 2011
Procent prosty i złożony - porównanie

Poprzednio obliczaliśmy ilość uzyskanych odsetek z lokaty trzyletniej z użyciem procentu złożonego.


Gdybyśmy taką samą kwotę chcieli oszczędzać korzystając z procentu prostego nasze obliczenia wyglądałyby następująco:


Kapitał wynosi 1000 zł, okres kapitalizacji 1 rok a stopa procentowa 5%.


Według znanego nam wzoru obliczamy:




Odsetki uzyskane na lokacie wynoszą 50 zł. Jest to dokładnie tyle samo, co uzyskalibyśmy gdybyśmy mieli lokatę na procent składany.


W drugim roku posiadania lokaty zaczynają się jednak ujawniać różnice pomiędzy procentem prostym a złożonym.


Jeżeli korzystalibyśmy z procentu złożonego, to odsetek mielibyśmy 52,5 zł, przy procencie prostym mamy nadal 50 zł.



Odsetki uzyskane w trzecim roku obliczamy w taki sam sposób:



Przy procencie złożonym mielibyśmy już 55,13 zł odsetek.



Porównajmy:


Po trzech latach oszczędzania przy procencie prostym mamy 1000 zł kapitału i 150 zł odsetek. W każdym kolejnym roku otrzymywać będziemy jedynie 50 zł.


Po oszczędzaniu przez trzy lata z wykorzystaniem procentu złożonego mamy 50 + 52,5 + 55,13 = 157,63 zł, czyli o 7,63 więcej. Oczywiście kwota jest jedynie nieznacznie większa, ale w miarę upływu czasu odsetki uzyskane od dopisanych do kapitału odsetek są coraz większe i przy odpowiednio długim czasie oszczędzania mogą być większe niż kapitał początkowy.


Taki system oszczędzania ma znaczenie w przypadku planowania długofalowego oszczędzania.

10:28, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
czwartek, 31 marca 2011
Procent składany

O procencie składanym mówimy wówczas gdy:


  • kapitał jest złożony w banku na określony procent

  • kapitał jest złożony na określony czas

  • kapitał jest oprocentowany w ustalonych równych okresach kapitalizacyjnych (miesięczne, kwartalne, półroczne, roczne)

  • po każdym okresie kapitalizacyjnym odsetki są obliczane, dodawane do kapitału i procentują wraz z nim.

 

 

Rozpatrzymy to na przykładzie:


W banku złożyliśmy 1000 zł na procent składany, na okres trzech lat. Stopa oprocentowania 5%, okres kapitalizacji 1 rok.


Po pierwszym okresie kapitalizacji, czyli po upływie 1 roku odsetki wyniosą:

 


Możemy to też obliczyć korzystając z ułamków dziesiętnych:



Odsetki dodajemy do kapitału.


1000 + 50 = 1050

 

Teraz podstawą do naliczenia odsetek w drugim okresie kapitalizacji będzie już 1050 zł (odsetki i kapitał).


Obliczenia procentów po drugim okresie kapitalizacji wyglądają następująco:


 

Lub przy liczeniu jako ułamki zwykłe:

 


 

Po dodaniu, po drugim okresie kapitalizacji mamy:

 

1050 + 52,5 = 1102,50

 

Teraz podstawą naliczania odsetek staje się kwota 1102,5.

 

Przy trzeciej kapitalizacji obliczenia wyglądają następująco:

 

 


 

Po trzech latach oszczędzania otrzymujemy:

 

1102,5 + 55,13 = 1157,63 zł

00:08, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
wtorek, 29 marca 2011
Procent prosty - cd

Kilka uwag odnośnie poprzedniego wpisu o procencie prostym:


Nie zawsze lokujemy pieniądze na okrągły rok. Często spotykamy się z lokatami na krótszy okres, miesiąc, dwa, trzy, pół roku, lub dłuższymi, od razu z założenia zawieranymi na 18 miesięcy (półtora roku) lub dwa lata.


Jeżeli rozpatrujemy lokatę krótszą niż roczna wówczas do wzoru, jako t podstawiamy ułamek.


Pół roku to  czyli sześć miesięcy z dwunastu (pełny rok).


3 miesiące z roku to .


Dane podstawiamy do wzoru.

Aby było łatwiej, skorzystamy z poprzedniego zadania, czyli inwestowany kapitał wynosi 500 zł, a odsetki 6,5% w skali roku.



 


lub, jeżeli ułamka dotyczącego roku nie zmienimy na ułamek dziesiętny:



 

Jak widać z obliczeń, odsetki za pół roku wyniosą 16,25 zł.


Jeżeli chcemy obliczać zyski z lokat nie możemy niestety opierać się wyłącznie na powyższych wyliczeniach, należy jeszcze uwzględnić podatek od dochodów kapitałowych, potocznie zwany „podatkiem Belki”, sprawdzić, czy lokata, którą chcemy zawrzeć podlega mu czy nie.

01:58, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
poniedziałek, 28 marca 2011
Procent prosty

Pieniądze w banku mogą być ulokowane na procent prosty lub procent składany.


Procent prosty – odsetki naliczone od ustalonej kwoty, wpłaconej na jakiś czas, dopisane po upływie tego czasu. Odsetki są obliczane raz.


Przy procencie prostym odsetek nie dodaje się (nie dolicza) do kapitału (nie kapitalizuje się) i tym samym nie powiększa on naszego kapitału, odsetki nie są oprocentowane i nie generują dochodu.

 


Zobaczmy to na przykładzie:


Wpłacamy do banku kwotę 500 zł. Oprocentowanie wynosi 6,5% w skali roku. Ile uzyskamy odsetek po roku?


Dane:


Kapitał – 500 zł

Oprocentowanie – 6,5 %

Czas – 1 rok


Odsetki obliczamy według wzoru:



Odsetki oznaczamy jako o, kapitał przez k, procent jako p i czas przez t. Wzór ma postać:



Rozwiązanie:


Podstawiamy dane do wzoru:



Odpowiedź:


Odsetki wyniosą 32,50 zł.

 


A ile będzie odsetek po kolejnym roku?


Kwota odsetek nie zostanie dopisana do kapitału i nie powiększy go, więc w kolejnym roku mamy do czynienia z dokładnie takimi samymi liczbami i otrzymujemy taki sam wynik (kapitał w dalszym ciągu wynosi 500 zł, a oprocentowanie 6,5%).


Po dwóch latach odsetki wyniosą 32,5 + 32,5 = 65 zł

22:32, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
niedziela, 27 marca 2011
Oprocentowanie lokat i kredytów

Umiejętność obliczania procentów przydatna jest podczas kontaktów z bankiem, obliczania opłacalności lokat i kosztów kredytów.


Na początek sprecyzujemy kilka pojęć związanych z zakładaniem lokat i zaciąganiem kredytów.


Kapitał – kwota, którą wpłacamy i przechowujemy w banku.


Kredyt – kwota, którą pożyczamy z banku.


Termin – określony czas, przez który nasze pieniądze leżą w banku lub w ciągu którego musimy spłacić kredyt.


Procent – stopa procentowa, na jaką wpłacamy pieniądze lub pożyczamy z banku. Podawana w stosunku rocznym.


Odsetki – kwota, którą bank dolicza do kapitału lub taka, którą spłacamy dodatkowo podczas spłaty kredytu.


Kapitalizacja odsetek – powiększanie kapitału poprzez dopisanie należnych odsetek.

23:07, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną matematyka@matematycznie.za.pl