Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
czwartek, 28 lipca 2011
Mnożenie

Kolejnym, po dodawaniu i odejmowaniu, podstawowym działaniem jest mnożenie.

 

Mnożenie można określić jako dodawanie do siebie pewnej ilości jednakowych składników:

 

7 + 7 + 7 + 7 = 28

 

Możemy to też zapisać jako:

 

7 * 4 = 28

 

 

Używając zapisu ogólnego i symbolicznego mnożenie przedstawiamy następująco:

 

a * b = c

 

czynnik * czynnik = iloczyn

 

 

Czasami spotyka się też określenia mnożna i mnożnik, zamiast czynniki.

 

Podobnie jak przy dodawaniu, przy mnożeniu możemy mieć dowolną ilość czynników:

 

3 * 2 * 4 * 2 = 48

 

 

W mnożeniu, podobnie jak w dodawaniu, ma zastosowanie prawo przemienności.


Patrząc na przykład zamieszczony powyżej, widzimy, że wynik nie zmieni się, niezależnie od tego, w jakiej kolejności zapiszemy poszczególne czynniki:

 

 

3 * 2 * 4 * 2 = 48

 

3 * 4 * 2 * 2 = 48

 

2 * 2 * 4 * 3 = 48

 

i tak dalej....

 

 

Prawo przemienności możemy też zapisać w następujący sposób:

 

3 * 7 = 7 * 3

 

lub symbolicznie:

 

a * b = b * a

 

 

Kolejnym prawem mającym zastosowanie w mnożeniu jest prawo łączności mnożenia:

 

(3 * 2 ) * 4 = 3 * (2 * 4)

 

po wyliczeniu:

 

6 * 4 = 3 * 8

 

24 = 24

 

 

Symbolicznie zapisujemy to w ten sposób:

 

(a * b) * c = a * (b * c)

 

 

Obojętne jak pogrupujemy czynniki, wynik iloczynu zawsze będzie taki sam.

 



23:44, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
niedziela, 03 lipca 2011
Odejmowanie

Teraz pora na drugie działanie arytmetyczne: odejmowanie.

 

Odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania.

 

 

Wynik odejmowania nazywa się różnica.

Odejmowanie składa się z następujących elementów:

 

       14     –        5      =       9

odjemna     odjemnik       różnica

 

Odejmowanie w zbiorze liczb naturalnych jest wykonywalne tylko wtedy, gdy odjemna jest równa lub większa od odjemnika.

 

Schematycznie zapisujemy odejmowanie w ten sposób:

 

          a – b = c

 

z zastrzeżeniem, że a b dla zbioru liczb naturalnych.


Znak ≥ mówi nam, że coś jest większe lub równe od czegoś drugiego.

 

Odejmowanie nie jest przemienne i nie jest łączne, czyli nie stosujemy prawa przemienności i prawa łączności.

 



22:30, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
wtorek, 28 czerwca 2011
Dodawanie cd

Znając wymienione we wcześniejszym wpisie własności dodawania możemy szybciej i sprawniej wykonywać obliczenia w pamięci, nawet takie, które z pozoru wydają się trudne i zawiłe.

 

Oto przykłady:

 

46 + 37 + 4 = (46 + 4) + 37 = 87

 

53 + 15 + 25 + 27 = (53 + 27) + (15 + 25) = 80 + 40 = 120

 

11 + 2 + 19 + 28 = (11 + 19) + (2 + 28) = 30 + 30 = 60

 

 

W ćwiczeniu tak pogrupowano składniki, by sumy cząstkowe (wyniki dodawania w nawiasach) były pełnymi dziesiątkami.

 

 

Dobrze jest przeprowadzać sobie takie ćwiczenia. Usprawniają pamięć i poprawiają zdolności szybkiego liczenia.


Doskonałym ćwiczeniem rozwijającym umiejętność szybkiego i bezbłędnego liczenia w pamięci jest zabawa z talią kart. Przyjmujemy, że każda karta ma taką wartość jak liczba na niej się znajdująca, karty z figurami ustalamy dowolnie (na przykład na 10), as - jako 11 (aby urozmaicić zabawę), joker na 25.

 

Zabawa polega na przekładaniu kart po kolei, karta po karcie i dodawaniu do siebie ich wartości. Ćwiczenie doskonale wpływa nie tylko na umiejętność dodawania, ale i na koncentrację (cały czas musimy pamiętać, jaka była suma i do jakiej sumy dodajemy). W ten sposób możemy dodawać do siebie kilkanaście kart, całą talię, dwie talie (dla zaawansowanych!), do osiągnięcia określonej sumy (na przykład 200).

 

Zachęcam do ćwiczeń. Początkowo perspektywa tak długiego liczenia może wydawać się przerażająca, ale z czasem nabieramy biegłości i liczymy coraz sprawniej. Ćwiczenie czyni mistrza!

 

Poprawność przeprowadzonego dodawania możemy sprawdzić przez odejmowanie. Od obliczonej sumy po kolei odejmujemy karty – jeżeli nie dojdziemy do zera, to znaczy, że popełniliśmy błąd przy dodawaniu lub odejmowaniu. Ale odejmowanie to już zupełnie inna historia..... do omówienia w kolejnym wpisie.



21:21, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
niedziela, 19 czerwca 2011
Dodawanie

Dodawania to podstawowe działanie arytmetyczne.

 

Liczby, które dodajemy do siebie nazywają się składnikami, a wynik dodawania to suma.

 

     9       +       5        =     14

składnik      składnik        suma

 

 

W dodawaniu możemy stosować prawo przemienności dodawania. Pozwala ono na zmienianie kolejności w jakiej składniki są dodawane, a suma pozostaje taka sama.

 

9 + 5 = 14

 

5 + 9 = 14

 

czyli:

 

9 + 5 = 5 + 9

 

Symbolicznie możemy to zapisać następująco:

 

a + b = c

 

b + a = c

 

a + b = b + a

 

 

Podczas dodawania możemy dodawać do siebie dowolną ilość składników. Na przykład przy robieniu zakupów dodajemy do siebie dowolną ilość poszczególnych produktów. Kasowanie zakupów jest przykładam sumowania.

 

 

Składniki dodawania można łączyć ze sobą po kilka, a następnie sumować. Nazywamy to łącznością dodawania lub prawem łączności dodawania.

 

12 + 8 + 2 = (12 + 8) + 2 = 12 + (8 + 2)

 

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

 

 

Suma tak wykonywanych działań nie ulega zmianie.

 

12 + 8 + 2 = 22

 

(12 + 8) + 2 = 22

 

12 + (8 + 2) = 22

 

 


Zero odgrywa szczególną rolę w dodawaniu. Jest liczbą obojętną, neutralną, czyli nie zmienia wyniku. Niezależnie od tego ile razy dodamy 0, suma będzie zawsze taka sama.

 

6 + 1 = 7

 

6 + 1 + 0 = 7

 

0 + 6 + 1 + 0 = 7

 

 

Należy zapamiętać:

Własności (prawa) dodawania:

 

Przemienność : a + b = b + a

 

Łączność: (a + b) + c = a + (b + c)

 

Element neutralny: 0

 



19:40, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
piątek, 03 czerwca 2011
Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby znane nam od dzieciństwa: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,......10, 11, 12, 13 ......... 2011, 2012, 2013......

 

Liczby naturalne należą do podstawowych pojęć współczesnej matematyki.

Na ich podstawie konstruowane są inne rodzaje liczb: liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste. (definicja podana za Encyklopedią Powszechną PWN).

 

Jednym z działów matematyki zajmujących się liczbami naturalnymi jest ARYTMETYKA (z łaciny arithmetica a z greckiego arithmos – liczba – definicja za „Słownikiem wyrazów obcych”).

Arytmetyka opiera się na najprostszych pojęciach matematycznych, zajmuje się prawidłowościami liczenia, czyli działaniami wykonywanymi na liczbach naturalnych.

 

Matematycy mają podzielone zdanie odnośnie najmniejszej liczby naturalnej.

Niektórzy za taką uznają 0 a inni 1. Częściej spotykany jest pogląd, że najmniejszą liczbą jest 0. Przeciwnicy uważają jednak, że liczymy od 1, więc ta liczba jest najmniejszą liczbą naturalną.

 

Największa liczba naturalna nie istnieje, bo każdej liczby, którą moglibyśmy uznać za największą zawsze możemy dodać 1.

 

Każda liczba naturalna, oprócz najmniejszej (0), ma liczbę, która ją poprzedza i liczbę, która po niej następuje. Najmniejsza liczba naturalna, zero, ma tylko liczbę następującą.

 

      97                         98                    99

liczba poprzedzająca                       liczba następująca

 

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N.

 

Zbiór liczb naturalnych możemy przedstawić na osi liczbowej:

 

 

W zbiorze liczb naturalnych możemy wykonywać działania arytmetyczne:

- dodawanie,

- odejmowanie,

- dzielenie,

- mnożenie.

 

Wyrażenie arytmetyczne to liczby połączone znakami wskazującymi działanie.

 

Należy też dodać, że dodawanie i mnożenie jest w pełni wykonalne w zbiorze liczb naturalnych, natomiast odejmowanie i dzielenie tylko wtedy, gdy wynik jest liczbą naturalną.

Oczywiście dotyczy to tylko wykonalności działań w zbiorze liczb naturalnych, a nie wykonalności działania w ogóle.

W przypadku wykonania działania takiego jak na przykład 2 – 4 uzyskujemy wynik -2. Działanie jest wykonane prawidłowo, nie jest jednak wykonalne w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik „-2” nie jest liczbą naturalną.

23:37, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (11) »
poniedziałek, 16 maja 2011
Procenty - podsumowanie



Bardzo dużą część bloga poświęciłam na dokładne omówienie procentów i różnych zagadnień z nimi związanych. Teraz czas na podsumowanie:

 

Zobaczymy co dowiedzieliśmy się o wartościach procentowych, do czego nam służą i co opisują. Otaczający nas świat pełen jest wartości procentowych i wartości wyrażanych w procentach.

 

EKONOMIA:

  • lokaty i kredyty bankowe

  • podatki VAT, PIT i inne

  • handel – obniżki i podwyżki cen

  • promocje i bonifikaty

  • dochód narodowy i budżet państwa

 

STATYSTYKA:

  • wykresy i diagramy procentowe

  • punkty procentowe

 

PRZYRODA WOKÓŁ NAS:

  • składy procentowe minerałów i kopalin

  • składy procentowe roztworów

  • składy procentowe stopów

  • składy procentowe organizmów żywych



21:38, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
czwartek, 12 maja 2011
Próby złota i srebra

Jako uzupełnienie porzedniego wpisu o próbach złota i srebra podaję jak wyglądają wzory prób jakie wybijane są na stopach:

 

 

Wzory prób złota:

 


 

 

 

Wzory prób srebra:

 


 

Cechy probiercze stosowane są też na stopach platyny i palladu. Są one oczywiście inne od przedstaionych powyżej. Inne są też wzory dla cechów probierczych stosowanych w dentystyce (złota, platyny i palladu).

01:11, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (2) »
Próby złota i srebra

Omawianie zagadnień związanych z procentami dobiega końca. Nadeszła pora na temat mniej kojarzony z procentami, nawet niekoniecznie uważany za związany z matematyką.

 

Zajmiemy się biżuterią, a właściwie materiałami, z których wykonane są elementy biżuterii, pierścionki, bransoletki itp.

 

Biżuteria wykonana z metali szlachetnych nie jest zrobiona z czystego złota czy srebra. Metale te są zbyt miękkie, aby mogły z nich powstawać wyroby użytkowe.

 

To, co potocznie nazywamy wyrobem złotym lub srebrnym jest w rzeczywistości stopem (połączeniem) złota lub srebra i innego, twardego metalu.

 

Przedmioty wykonane z takich stopów są oznakowane w specjalny sposób. Została na nich wybita próba (cecha probiercza), oznaczająca ilość czystego kruszcu w stopie, z którego powstał dany wyrób.

 

Próba pokazuje jaki jest stosunek masy czystego złota lub srebra w stopie do masy całego stopu:

 

 

 

Próba jest to więc wynik dzielenia (iloraz) wagi czystego metalu przez wagę całego wyrobu.

 

Wynik ten wyrażony jest w PROMILACH.

Próby zostały wprowadzone w celu ustandaryzowania ilości złota i domieszki.

 

Złoto dostępne jest w próbach: 960; 750; 585; 500; 375; 333. Próby nazywane są odpowiednio: pierwsza, druga, trzecia, czwarta, piąta i szósta.

Srebro dostępne jest w próbach: 925; 875; 830; 800. Próby to: pierwsza, druga, trzecia i czwarta.

 

Im wyższa próba, tym wyższa ilość cennego kruszcu.

 

Dzięki znajomości próby można od razu określić ile jest promili czystego kruszcu. Dla próby 960 ilość złota wynosi 960 promili a 40 promili to metal dodatkowy.

 

 

Teraz pora przejść do zadań:

 

Zadanie 1:

Złota bransoletka waży 20 g. Ile czystego złota znajduje się w niej, jeżeli próba wynosi 960?

 

Obliczamy ilość złota, czyli 960 promili z 20 gramów:

 

 

Odpowiedź:

Bransoletka zawiera 19,2 gramów czystego złota.

 

 

 

Zadanie 2:

Ile czystego złota znajduje się w bransoletce o wadze 20 g, ocechowanej próbą 585?

 

Obliczamy 585 promili z 20 g stopu:

 

 

Odpowiedź:

Bransoletka zawiera 11,7 gram czystego srebra.

 

 

 

Zadanie 3:

Zanosimy do jubilera srebrny złom w celu przerobienia go na bransoletkę. Oddajemy 22 gramy srebra próby 925 i 15 gramów srebra próby 800. Jaką próbą zostanie ocechowana nasza bransoletka?

 

Obliczamy ilość srebra w pierwszym stopie, czyli w 22 gramach próby 925:

 

 

W podobny sposób obliczamy drugą próbkę:

 

czystego srebra

 

Dodajemy do siebie wagi czystego srebra:

 

 

Dodajemy całkowitą wagę obu stopów:

 

 

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

 

 

 

Odpowiedź:

Bransoletka zostanie oznakowana próbą 875.

 

 

Zadanie 4:

Do złomu srebrnego z poprzedniego zadania jubiler dołożył 2 gramy miedzi. Jaką próbą zostanie teraz oznakowana bransoletka?

 

Waga czystego srebra nie ulega zmianie i wynosi 32,35 gramy. Zmieniła się natomiast waga bransoletki:

 

 

 

Podstawiamy do wzoru i obliczamy:

 

 

Odpowiedź:

Bransoletka zostanie oznaczona próbą 830.

 



00:51, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (2) »
sobota, 07 maja 2011
Promile

Poprzednio omawiałam procenty i działania na nich. Przypomnijmy sobie, że 1% to jedna setna część jakiejś całości, czyli ułamek o mianowniku 100 lub ułamek dziesiętny z dwoma miejscami po przecinku:

 

 

 

dla przykładu:

 

 

 

Promil natomiast jest jedną tysięczną częścią jakiejś całości. Jest więc ułamkiem o mianowniku 1000 lub ułamkiem dziesiętnym z trzema miejscami po przecinku.

 

Słowo promil pochodzi z łaciny, od słowa pro mille i oznacza na tysiąc. (definicja za „Słownikiem wyrazów obcych”).

 

Promil oznaczamy symbolem ‰.


 

Między promilem z procentem występuje następująca zależność:

 

 

A więc 1% jest 10 razy większy od 1‰, zaś 1 ‰ jest 10 razy mniejszy od 1%.

 

 

Przykłady promili:

 

 

 

 

Promilami posługujemy się wówczas, gdy omawiamy bardzo małe części jakiejś większej całości, na przykład zawartość alkoholu we krwi, próby złota, srebra, niektóre składniki chemiczne.

 

 

 

Obliczenia promili wykonujemy podobnie jak obliczenia procentów:

 

  • zmiana promili na liczbę:

 

 

 

 

  • zmiana liczby na promile

 

 

 

  • obliczanie promila danej liczby

 

 

Zadanie:

Obliczyć 15‰  liczby 600.

 

 

Odpowiedź:

15‰  liczby 600 równa się 9.

 

 

 

Zadanie:

Obliczyć 3‰  liczby 2000.

 

 

3‰  liczby 2000 wynosi 6.

 

 

 

  • zamiana promili na procenty (pomniejszamy promile 10 razy)

 

 

 

 

  • zamiana procentów na promile (powiększamy procent 10 razy)

 

 



20:25, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (3) »
czwartek, 05 maja 2011
Diagramy

Diagram (z języka łacińskiego diagramma) – to wykres przedstawiający przebieg jakiegoś zjawiska, w szczególności podający związek pomiędzy wielkościami fizycznymi. (definicja na podstawie „Słownika wyrazów obcych”)

 

 

Diagramy służą nam do obrazowego przedstawiania danych. Działają na naszą wyobraźnię i ułatwiają zrozumienie i zapamiętanie pewnych zjawisk.

 

Tę samą wartość można przedstawić przy pomocy różnych typów diagramów. Dobierając diagram warto zastanowić się jakie dane chcemy za jego pomocą przedstawić,  ponieważ w różnych rodzajach diagramów dane mogą wyglądać mniej lub bardziej przejrzyście.

 

 

Zobaczymy to na przykładzie procentowego składu powietrza.

Powietrze jest mieszaniną gazów:

  • azotu – 78%

  • tlenu – 21%

  • i innych gazów -1%

 

 

  1. Pierwszym typem wykresu będzie diagram kwadratowy.

Ma postać kwadratu o boku 10 jednostek – czyli kwadrat ma 100 kratek. Każda kratka odpowiada jednemu procentowi.

 

 

 

  1. Drugim rodzajem diagramu jest diagram prostokątny.

Jest on bardzo podobny do kwadratowego. Również ma postać figury o wymiarach 10 na 10 jednostek, ale zamiast kwadratów ma prostokąty. Jeden prostokąt opowiada 1 procentowi. Zaletą jest możliwość precyzyjniejszego przedstawienia dziesiętnych części procenta.

 

 

 

  1. Diagram kołowy

Jest trudniejszy do obliczenia i narysowania, ale dane przedstawione za jego pomocą prezentują się bardzo ładnie i dlatego jest popularny.

 

Najpierw musimy zamienić procenty na stopnie. Procentów mamy 100, a koło ma 360 stopni.

Więc 100% = 360º.

1% = 360º :100

1% = 3,6º.

 

Obliczamy, jaką część koła stanowią poszczególne składniki:

 

Gazy pozostałe – 1% - 3,6 º 

Tlen – 21 * 3,6 º  = 75,6 º 

Azot – 78 * 3,6 º  = 280,8 º 

 

Zaznaczamy promień koła i od tego promienia, przy pomocy kątomierza odmierzamy najpierw wartość pozostałych gazów. Zaznaczmy to miejsce na obwodzie koła i rysujemy drugi promień. Następnie odmierzamy wartość dla tlenu i analogicznie zaznaczamy. Ponieważ mamy trzy składniki, pozostała część koła reprezentuje ilość azotu. Oczywiście na potrzeby bloga wykonałam diagram na komputerze, korzystając z opcji arkusza kalkulacyjnego.

 

 

 

 

  1. Kolejnym diagramem jest diagram słupkowy.

W zależności od ustawienia słupki mogą być umieszczone pionowo lub poziomo. Zasada konstruowania jest prosta. Rysujemy układ współrzędnych (dla wartości dodatnich, czyli pierwszą ćwiartkę). Na jednej z osi zaznaczamy procenty a na drugiej nasze składniki powietrza. Słupki ze składnikami rysujemy do wysokości odpowiadającej  procentom.

 

 

 

W naszym przypadku widać, że diagram ze słupkami ustawionymi pionowo jest bardziej czytelny.

 

 

W przypadku składników powietrza inne diagramy nie mają zastosowania, chociaż oczywiście istnieją.

 

 

  1. Takim diagramem może być diagram liniowy.

Ma on postać pojedynczej linii, bądź kilku linii. Może obrazować trendy, zmiany w czasie, przyrost lub zmniejszanie się czegoś. Poprzez używanie kilku linii można porównywać ze sobą różne wartości.

 


 

Rysunek przedstawia jedynie poglądowy zarys wyglądu diagramu, nie jest oparty na żadnych danych.

 

 

  1. Odmianą diagramu liniowego jest diagram warstwowy.

Dane pokazane są w postaci całych, zaciemnionych pól. Rysunek pokazuje jedynie ogólny wygląd diagramu.

 

 

 

 

  1. Diagram kolumnowy stanowi połączenie diagramu kołowego i słupkowego.

Dane przedstawione są w postaci kolumny, a poszczególne składniki różnią się kolorami.

 

 

  1. Diagramem podobnym do kwadratowego jest sześcienny.

Taki diagram ma postać sześcianu o boku 10 jednostek. Ponieważ w diagramie jest 10*10*10 = 1000 jednostek, a 1 procent to aż 10 z nich, można łatwo przedstawiać ułamkowe części procentu. Największą wadą takiego rozwiązania jest jego przestrzenność i znaczne ukrycie danych znajdujących się „wewnątrz” diagramu.



22:20, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... 9




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną