Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
piątek, 18 marca 2011
Procenty i proporcje - zadania - ciąg dalszy

Teraz zmodyfikujemy zadanie po raz trzeci, tak, by niewiadomą stał się procent. Czyli:


W klasie liczącej 28 uczniów 7 uczniów było wzorowymi uczniami. Jaki procent ogólnej liczby uczniów stanowili uczniowie wzorowi?

 

Dane:

Ilość uczniów w klasie – 28

Ilość uczniów wzorowych – 7


Szukane:

Procent uczniów wzorowych - ?


Rozwiązanie:

 

Ustalamy jaką częścią całości (ułamkiem) są uczniowie wzorowi.


Obliczamy, zmieniając na procenty, czyli mnożymy razy 100%:

 

Odpowiedź:

Uczniowie wzorowi stanowili 25% uczniów całej klasy.

 


Druga metoda, rozwiązanie za pomocą proporcji:


b – nasza „baza” - całkowita ilość uczniów = 28

c – ilość uczniów wzorowych

p – procent uczniów wzorowych – nasza szukana



 

mnożymy „na krzyż”

 

p 28 = 100 7

28 p = 700     /:28

p = 700/28

p = 25

 

 

Jak widać, omówiony wzór proporcji można wykorzystać do obliczania procentów. Należy tylko dokładnie i ze zrozumieniem wczytać się w treść zadania i starannie podstawić dane do wzoru.

00:41, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (1) »
środa, 16 marca 2011
Procenty i proporcje - zadania - ciąg dalszy

Teraz policzymy ponownie zadanie z poprzedniego wpisu. Zmienimy jednak niewiadomą.

 

Zadanie policzymy tradycyjnie, tak jak liczymy ułamki i z proporcji.

 

Pozwoli to pokazać, jak można dopasować proporcję do zadania.

Proporcja jest cudownym, plastycznym narzędziem do rozwiązywania różnych problemów w zadaniach. Proponuję dokładnie zapoznać się z przykładami i nauczyć się stosować proporcję do obliczeń. Dobierając odpowiednio elementy tej układanki możemy wyliczyć bardzo dużo różnych zadań, bez konieczności pamiętania wzorów.

 


Zadanie:


W klasie było 7 uczniów wzorowych, co stanowiło 25% wszystkich uczniów. Ilu było uczniów w klasie?


Jak policzymy to zmieniając procent na ułamek?



 

To już znamy:)


Jak policzyć z proporcji?


Wykorzystujemy znany wzór


 

Wypisujemy dane i szukane. Właściwie powinniśmy to zrobić również przed poprzednim przykładem, wolę to zrobić razem z proporcją, a chciałam uniknąć przepisywania kilkakrotnie tego samego.


Dane:

Ilość uczniów wzorowych – 7

Procent uczniów wzorowych – 25


Szukane:

Ilość uczniów w klasie - ?


Podstawiamy do wzoru:



 

Mnożymy „na krzyż”


25 b = 100 7

25 • b = 700 / 25

 

W celu przeniesienia liczby przy niewiadomej (i wyliczenia niewiadomej b) dzielimy obustronnie przez 25 (/25).


b = 28


Odpowiedź:

W klasie było 28 uczniów.

02:36, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
poniedziałek, 14 marca 2011
Procenty i proporcje - zadanie

Proporcje rozważymy na przykładach


Zadanie:

W klasie jest 28 uczniów. Uczniowie wzorowi stanowią 25% wszystkich uczniów. Ile w tej klasie jest uczniów wzorowych?

 

Dane:

Ilość uczniów w klasie – 28

Procent uczniów wzorowych – 25

 

Szukane:

Ilu jest uczniów wzorowych w klasie - ?

 

Zadanie można policzyć na dwa sposoby.

 

Jeden z nich już znamy, poznaliśmy go podczas uczenia się o procentach.


Zamieniamy procent na ułamek i liczymy:


 

Drugim sposobem jest skorzystanie z proporcji:


 

p – szukany 25%

b – nasza „baza” - ilość uczniów w klasie – 28

c – szukana ilość uczniów wzorowych

 

Podstawiamy dane do wzoru:



 

Proporcję rozwiązujemy mnożąc przez siebie „na krzyż” elementy z obu stron i otrzymujemy:


25 28 = 100 • c

 

Wykonujemy działania po obu stronach:

 

700 = 100 • c /100

 

Dzielimy obie strony przez 100 (/100), aby obliczyć niewiadomą musimy liczbę znajdującą się po tej samej stronie co ona przenieść na drugą stronę. Jeżeli mielibyśmy na przykład X + 1 to wówczas 1 odejmowalibyśmy. Skoro mamy mnożenie (c•100), to dzielimy przez 100. Dokładniej to omówię, gdy będę omawiała rozwiązywanie równań.

 

7 = c

 

 

aby było czytelniej zapisujemy odwrotnie:

 

c = 7

 

Odpowiedź:

W klasie było siedmiu uczniów wzorowych.

21:06, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (2) »
Ułamki i proporcje - wprowadzenie.

W jednym z wcześniejszych wpisów porównałam ze sobą trzy zadania, w którym w każdym przypadku należało policzyć inną niewiadomą. Wpis znajduje się tutaj.


Teraz chcę omówić to samo zagadnienie raz jeszcze i pokazać, jak można je policzyć w inny sposób.


Jakie są zadania z procentami:

  • obliczanie procentu danej liczby

  • obliczanie liczby na podstawie danego jej procentu

  • obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

 

W tych typach zadań zawsze występują trzy wielkości:

1. Wielkość, którą przyjmujemy jako 100%, to baza, z którą porównujemy inną wielkość.

Oznaczamy ją symbolem b.


2. To wielkość, której stosunek do bazy (b) wyliczamy.

Oznaczamy ja symbolem c.


3. Ta wielkość oznacza ilość procent.

Oznaczamy ja symbolem p.

 


Te trzy wielkości tworzą razem proporcję:

 

 

 

Co to jest PROPORCJA?


Definicję przytaczam za „Słownikiem wyrazów obcych” PiW

  1. Współmierność, określenie stosunku pomiędzy częściami jakiejś całości.

  2. Równość dwóch stosunków (w matematyce)


Pochodzi od łacińskiego słowa PROPORTIO, oznaczającego stosunek, podobieństwo.

 


Jeszcze definicja PROPORCJONALNOŚCI


W matematyce: zależność pomiędzy dwiema wielkościami, w której przy powiększaniu wartości jednej wielkości wartość drugiej zwiększy się tyleż razy.

Ta definicja również pochodzi ze „Słownika wyrazów obcych” PiW

00:21, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
środa, 09 marca 2011
O ile procent rzeczy są tańsze lub droższe od siebie

Kontynuując nasze rozważania o procentach i ich obliczaniu spróbujemy także wyliczyć, o ile procent,  jedna rzecz może być tańsza lub droższa od drugiej.


Weźmy przykładowo takie zadanie:

 

Jedna książka kosztuje 24 złote, a druga 15. O ile procent pierwsza książka jest droższa od drugiej książki?

Dane:

Cena pierwszej książki – 24 zł

Cena drugiej książki – 15 zł

Szukane:

O ile procent pierwsza książka jest droższa od drugiej - ?

Rozwiązanie:

Musimy obliczyć różnicę cen pomiędzy oboma książkami.

Przypomnienie!

Różnicą nazywamy wynik odejmowania.

24 zł – 15 zł = 9 zł

Ustalamy teraz jaką częścią (ułamkiem) ceny drugiej, tańszej książki jest wyjściowa różnica cen.


Następnie ułamek zamieniamy na procent:

Odpowiedź:

Pierwsza książka jest droższa od drugiej o 60%.

 


Teraz policzymy zadanie w oparciu o te same dane, ale problem będzie postawiony inaczej.


Mamy dwie książki, jedna kosztuje 24 zł, a druga 15 zł. O ile procent druga książka jest tańsza od pierwszej?

Dane:

Cena pierwszej książki – 24 zł

Cena drugiej książki – 15 zł

Szukane:

O ile procent druga książka jest tańsza od pierwszej - ?

Rozwiązanie:

Obliczamy różnicę w cenie pomiędzy oboma książkami (zupełnie tak samo jak w poprzednim przykładzie):

24 zł – 15 zł = 9 zł

Ustalamy, jaką częścią (ułamkiem) droższej książki jest różnica cen:


Ustalony ułamek zamieniamy na procent:


Odpowiedź:

Druga książka jest tańsza od pierwszej o 371/2 % = 37,5%

 

Zamieniamy na ułamek dziesiętny, jeżeli procenty nie są całością to podaje się je w ułamkach dziesiętnych.

 


Co można zaobserwować w powyższych przykładach?


Zadania liczy się podobnie. Najpierw należy obliczyć różnicę pomiędzy dwiema liczbami. Potem przyrównujemy wynik do jednej z liczb, jeżeli mamy wyliczyć o ile procent więcej czegoś mamy, to przyrównujemy do niższej liczby, jeżeli obliczamy o ile procent mniej mamy to przyrównujemy do większej liczby. Następnie przeliczamy na procent.

09:46, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (6) »
poniedziałek, 07 marca 2011
Procenty - zestawienie i podsumowanie

W ostatnich wpisach omówiłam obliczanie procentów.

Opisałam dokładnie jak:

  • obliczyć liczbę, gdy dany jest jej procent,

  • obliczyć liczbę na podstawie danego jej procentu

  • obliczyć jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.

 

Jeżeli porównany te trzy rodzaje zadań, zobaczymy, że aby je obliczyć nie musimy uczyć się trzech różnych metod liczenia zadań z procentami, a wystarczy zapamiętać ogólną „konstrukcję”.


Procent liczba, której procent jest częścią = wartość procentu


W zależności od tego, który element mamy obliczyć przekształcamy odpowiednio konstrukcję. Zagadnienia były omówione wcześniej, ale uważam, że zebranie wszystkich przykładów razem i dokładne pokazanie przekształceń i logicznych związków miedzy nimi pozwoli na zrozumienie w jaki sposób zależą od siebie, jak wychodząc z jednego zadania można rozwiązać drugie. Ułatwi to bardzo zrozumienie matematyki, a nie tylko kucie na pamięć.

 


Policzymy teraz wszystkie trzy przypadki na konkretnym przykładzie:

15% 600 = 90

Widać, że cała liczba wynosi 600, a 15% z tej liczby to 90.

Przystępujemy do liczenia.

 


Zagadnienie 1.

Obliczamy procent danej liczby.

Czyli – mamy podaną liczbę wyjściową i musimy obliczyć pewien jej procent. W naszym przypadku z podanej liczby 600 musimy policzyć 15%

15% 600 = 90 (pogrubioną czcionką zaznaczam ten element, który jest niewiadomy i zostanie policzony, czyli procent liczby 600).

15% 600 = x

Jak już było powiedziane, musimy procent zmienić na ułamek i otrzymujemy:

0,15 600 = 90

 


Zagadnienie 2.

Obliczamy liczbę mając dany jej procent (znamy zarówno ile wynosi wartość procentu jak i wyliczona wartość procentu z liczby).

W naszym zadaniu wiemy, że 15% z jakieś liczby wynosi 90.

Bierzemy wyjściowe równianie

15% 600 = 90 (pogrubiona jest „nieznana” nam wartość liczby)

Po wstawieniu niewiadomej we właściwe miejsce otrzymujemy równianie

15% x = 90

Teraz już dobrze widać, jakich przekształceń wymaga:

x = 90 : 15%

x = 90 : 0,15

x = 600

 


Zagadnienie 3.

Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.

Tutaj mamy podane dwie liczby i musimy obliczyć jaki procent jednej stanowi druga.

15% 600 = 90 (pogrubiam nieznaną wartość procentu).

A po wstawieniu x równanie wygląda tak:

x 600 = 90

Wyliczamy:

X = 90 : 600

x = 0,15

Zamieniamy na procenty, czyli mnożymy razy 100% i otrzymujemy 15%.

11:06, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
Zadania z obliczania jakim procentem liczby jest druga liczba

Jeszcze jedno zadanie pozwalające zrozumieć jak działa obliczanie ile procent z jednej liczby stanowi druga liczba.

 


Zadanie 1

Mama kupiła 35 sztuk owoców, jabłek i gruszek. Gruszek było 7. Jaki procent owoców stanowią gruszki?

Dane:

Ilość owoców – 35

Ilość gruszek – 7

Szukane:

Jaki procent owoców stanowią gruszki - ?

Rozwiązanie:


Odpowiedź:

Gruszki stanowiły 20% owoców.

 


Zadanie 2

Cena wycieczki wynosi 800 zł, z czego 56 zł to koszt dojazdu na miejsce. Jaki procent ceny wycieczki wynosi koszt dojazdu?

Dane:

Cena wycieczki – 800

Koszt dojazdu – 56

Szukane:

Jaki procent ceny to koszt dojazdu - ?

Rozwiązanie:


Odpowiedź:

Koszt dojazdu na miejsce wynosi 7% ceny wycieczki.

04:06, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
niedziela, 06 marca 2011
Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Kolejną przydatną umiejętnością, potrzebną i w szkole i potem w życiu jest umiejętność obliczenia jaki procent danej liczby stanowi druga liczba.


Aby to policzyć należy podzielić drugą liczbę przez pierwszą, otrzymany wynik pomnożyć razy 100 i dopisać znak procentu. W ten sposób ustalamy jakim ułamkiem jednej liczby jest druga liczba a ułamek zamieniamy na procent.


Obrazowo można to zapisać tak:


[(liczba, która jest procentem drugiej liczby) : (liczba, która jest całością)] 100%


Najłatwiej będzie to zrozumieć na konkretnym przykładzie:


Cała szkoła liczy 400 uczniów. W klasie Ib jest 25 uczniów. Jaki procent wszystkich uczniów stanowią uczniowie Ib klasy.


Dane:

Ilość uczniów w klasie – 25

Ilość uczniów w szkole – 400


Szukane:

Jaki procent liczby 400 stanowi liczba 25 - ?


Rozwiązanie:


 

Wiemy już jakim ułamkiem jest ilość uczniów Ib spośród całości uczniów szkoły. Teraz zamieniamy ten ułamek na procent.



 

W zadaniu zmieniamy ułamek zwykły na dziesiętny, ponieważ w ten sposób przedstawia się procenty.


Rozwiązanie:


Uczniowie klasy Ib stanowią 6,25% uczniów szkoły.

22:08, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (5) »
Kolejne zadanie pozwalające obliczyć liczbę na podstawie jej procentu


Ile wynosi liczba, której 5% równa się 4,5?

4,5 dzielimy przez 5%.


Żeby można było obliczyć liczbę zmienimy najpierw 5% na ułamek dziesiętny. Wystarczy uświadomić sobie, że procent to ułamek o mianowniku 100, a liczba oznaczająca procent (przed znakiem %) jest licznikiem i już wiemy, jak wygląda procent zamieniony na ułamek zwykły. Teraz wyliczamy dziesiętny, korzystając z prostej zasady – kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, czyli dzielimy 5 przez 100.

 


I obliczamy szukaną liczbę:

4,5 : 0,05 = 90

Dlaczego w tym zadaniu zmieniliśmy ułamek na dziesiętny, a nie zostawiliśmy go jako zwykły? Kiedy wybrać która opcja będzie bardziej korzystna, optymalna? Trzeba patrzeć na pozostałe liczby w zadaniu. Jeżeli, tak jak w tym przypadku mieliśmy już podaną jedną liczbę w postaci ułamka dziesiętnego możemy dopasować do niej drugą.

Jeżeli zdecydowalibyśmy się przeliczyć 5% na ułamek zwykły i zostawić w takiej postaci, wówczas musielibyśmy 4,5 zmienić na ułamek zwykły niewłaściwy. Łatwiej (w tym przypadku) jest prowadzić działania na ułamkach dziesiętnych, zwłaszcza, że jako wynik otrzymujemy od razu gotową liczbę, której nie trzeba skracać, ani wyciągać z ułamka całej liczby.


A jak wyglądałoby to zadanie, gdybyśmy zmieniali procent na ułamek zwykły:


 

Zadanie to możemy też policzyć jako równanie. W tym przypadku zaczynamy od zamiany procentu na ułamek dziesiętny i wstawiamy do równania.


Korzystamy z zależności opisanej już wcześniej, w tym poście, mówiącej o tym, że:

% jaki mamy obliczyć z liczby liczba = % z liczby

I tak wygląda rozwiązanie:

 


19:47, matematycznie , Procenty
Link Dodaj komentarz »
piątek, 04 marca 2011
Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Aby obliczyć liczbę z danego jej procentu, mając podaną wartość tego procentu, trzeba podzielić tę wartość przez dany procent.


Najłatwiej będzie wyjaśnić to na przykładzie:

Jeżeli 15% z pewnej liczby wynosi 20, to ile wynosi ta liczba?

Dane:

Procent liczby – 15%

15% liczby – 20

Szukane:

Liczba - ?

Rozwiązanie:

Aby przeprowadzić obliczenia zmieniamy wartość procentu na ułamek i wykonujemy działanie:


Odpowiedź:

Szukana liczba wynosi 133 1/3

 

 

Inna metoda:

Liczbę możemy obliczyć też układając równanie, w którym przez x oznaczamy poszukiwaną liczbę.

Układamy równianie z niewiadomą x.

 


Rozwiązujemy równianie:


00:41, matematycznie , Procenty
Link Komentarze (3) »




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną