Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
piątek, 02 marca 2012
Odejmowanie ułamków dziesiętnych

Podobnie do dodawania postępujemy w przypadku odejmowania ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym. Zwracamy uwagę na właściwe podpisywanie cyfr i przecinków, a w otrzymanej różnicy – wyniku – przecinek stawiamy pod przecinkiem.



Odejmujemy liczbę która jest niżej od tej, które jest nad nią. W przypadku poniższym odejmujemy 5,443 od 7,587. musimy odejmować liczby w kolejności, tak jak są zapisane od strony prawej. Czyli najpierw odejmujemy 3 (odjemnik) od 7 (odjemna) i zapisujemy wynik – 4 (różnica). Potem 4 od 8 i znów zapisujemy wynik 4. Dalej 4 od 5 i wynik – 1. Potem przepisujemy przecinek i odejmujemy liczby całe. Czyli 5 od 7, z wynikiem 2.

Odejmowanie ułamków dziesiętnych 7,587 - 5,443

 

Jeżeli zaistnieje sytuacja, w której liczba odjemnika, czyli liczby zapisanej niżej jest większa od odjemnej, tej zapisanej u góry liczby nad nią, więc liczba, którą mamy odjąć jest większa od liczby, od której odejmujemy, posiłkujemy się cyfrą wcześniejszą.

Widać to na przykładzie niżej – w liczbie wyżej mamy dwa zera, a pod nimi 5 i 8. W jaki sposób pomagamy sobie?

Od liczby wcześniejszej zabieramy 10. Dziesięć, ponieważ zawsze jedna część liczby bliżej przecinka (bliżej lewej strony) to dziesięć części liczby dalej od przecinka. Po prostu liczba na dalszej pozycji jest dziesięć razy mniejsza od jej poprzedniczki. Taki urok ułamków dziesiętnych.

W tym przykładzie mamy 0, od którego odejmujemy 8. Tego nie zrobimy (akurat w tym przypadku, bo ogólnie możemy odjąć, uzyskamy po prostu liczbę – 8). Sięgamy do liczby wyższej. Tutaj też mamy 0. Więc sięgamy jeszcze dalej i mamy 4. Bierzemy 1 z czwórki, zostaje tam tylko 3. Nad 5 w głowie zapisujemy sobie 10 i zabieramy się za liczenie. Ponieważ odejmujemy od strony prawej do lewej, to musimy znaleźć liczbę, od której odejmiemy nasze końcowe 8. Teraz możemy już wziąć 10 znad 5 (w odjemniku) i zapisać 10 nad 8. Nad 5 zostaje 9.

10 – 8 = 2 i tyle zapisujemy.

9 – 5 = 4 i to zapisujemy.

3 – 7 = i tu znowu jest problem, musimy sięgnąć tym razem do całości. Bierzemy 1 z 5, u nas zmienia się na 10 i to dziesięć dodajemy do 3.

(10 + 3) – 7 = 6

Przepisujemy przecinek.

4 (bo tyle zostało) – 3 = 1

A poniżej widać, jak to wygląda w słupku.



Odejmowanie ułamków dziesiętnych 5,400 - 3,758

 

Jeżeli mamy odjąć 5,4 – 3,758 to ułatwiamy sobie obliczenia wpisując zera w części ułamkowej odjemnej.



Odejmowanie ułamków dziesiętnych 5,400 - 3,758

 

Odejmijmy 7 – 2,245:

Liczbę naturalną możemy zapisać zapisując ją, przecinek i dopisując odpowiednią liczbę zer.

 

Odejmowanie ułamków dziesiętnych 7,000 - 2,245

Jak wiemy z wpisu o dodawaniu ułamków liczba zer wpisana po przecinku i liczbach w ułamku dziesiętnym nie zmienia sensu liczby ani działania. Z drugiej strony nie wpisanie zer po przecinku i liczbach nie jest błędem, ma nam ułatwić liczenie. Jeżeli czujemy się wystarczająco pewni, że nie pomylimy się, możemy zer nie dopisywać.





14:44, matematycznie , Ułamki
Link Komentarze (2) »
wtorek, 21 lutego 2012
Działania na ułamkach dziesiętnych - dodawanie

Dodawanie i odejmowanie pisemne ułamków dziesiętnych wykonujemy bardzo podobnie jak na liczbach naturalnych. Musimy pamiętać o prawidłowym zapisie ułamków – całości pod całościami, przecinek pod przecinkiem, części dziesiętne pod częściami dziesiętnymi, setne pod setnymi itd.

 

3,758 + 7,231 + 5422 = 16,411

 

Jak widać w tym zapisie, przecinek jest pod przecinkiem, części dziesiętne pod dziesiętnymi, setne pod setnymi a tysięczne pod tysięcznymi.

 

 

Możemy też mieć ułamki, które nie mają części tysięcznych, ani nawet setnych. I musimy je dodać czy odjąć od takich, które część setną mają. Na przykład: 3,785 i 7,23 i 5,4. Jak zapisać dodawanie takich ułamków?

 

Możemy sobie pomóc korzystając z reguły, którą wcześniej podałam. O tym, że każdy ułamek można rozszerzyć lub skrócić, dodając na jego końcu zera, lub je skreślając. W tym przypadku nie mamy możliwości skreślania zer, ponieważ żaden ułamek nie kończy się zerami. Zresztą potrzebne byłoby nam to tylko w najdłuższym (tym, który ma części setne i tysięczne). Skoro nie możemy skreślić, to musimy dopisać.

 

Dopisujemy zera na pozycjach części setnych i tysięcznych, w tych ułamkach, które są krótsze. Otrzymujemy: 3,785 i 7,230 i 5,400. Zapisujemy je jeden pod drugim, przecinek pod przecinkiem, tak jak to było w poprzednim przykładzie:

 

 

3,785+7,230+5,400=16,388

 

Dopisywanie zer absolutnie nie jest obowiązkowe. Jest dobrą metodą do celów szkoleniowych, ale w praktyce nie stosuje się tego. Bez dodatkowych zer zapis naszego dodawania wygląda tak:

 

 

3,785+7,23+5,4=16,388

 

 

Tutaj też mamy całości pod całościami, części dziesiętne pod dziesiętnymi i tak dalej.

 

 

 

Możemy mieć sytuację, gdy do ułamka dodajemy liczbę całkowitą.

Wyobraźmy sobie dodawanie 2 i 0,236. W 2 nie mamy przecinka. Ale wiemy, że jest on za liczą całkowitą. Czyli wygląda to mniej więcej tak: 2, i po przecinku możemy dopisać dowolną ilość zer, zgodnie z zasadą rozszerzania ułamków. Czyli równie dobrze może być to 2,0 jak i 2,00 jak też 2,000. To ostatnie ma części tysięczne, podobnie jak ułamek, który mamy dodać, więc zapis nie stanowi już problemu i wygląda tak:

 

2,000+0,236=2,236

 

 

A ponieważ zer nie musimy dopisywać, to możemy to zapisać tak:

 

2+0,236=2,236

 

Od nas zależy, jak jest nam łatwiej i wygodniej.

 



17:25, matematycznie , Ułamki
Link Dodaj komentarz »
poniedziałek, 20 lutego 2012
Ułamki dziesiętne - jeszcze raz

Do zapisu ułamków dziesiętnych dziesiątkowy system pozycjonujący rozszerzamy w prawą stronę, o części ułamkowe, oddzielone od całości przecinkiem.

 

 

            Przecinek

           dziesiętny

Całości

Części dziesiętne

Części setne

Części tysięczne

Części dziesięcio-

tysięczne

Części stutysięczne

Części milionowe

 

 

Jedna dziesiąta:

 

Elementy ułamka jedna dziesiąta



Piętnaście setnych:



 

Elementy ułamka piętnaście setnych

Sto pięćdziesiąt siedem tysięcznych (tysiącznych)

 

Elementy ułamka sto pięćdziesiąt siedem tysięcznych

 

 

Tysiąc pięćset siedemdziesiąt trzy dziesięciotysięczne:

 

Elementy ułamka tysiąc pięćset siedemdziesiąt trzy dziesięciotysięczne

 

 

Trzy milionowe:

 

Ułamek dziesiętny trzy milionowe  część milionowa – na szóstym miejscu po przecinku

 

 

 

Ułamki dziesiętne możemy rozszerzać dopisując na końcu dowolną liczbę zer. Nie zmienia to wartości ułamka.

 

0,7 = 0,70 = 0,700 = 0,7000

 

 

Ułamki dziesiętne możemy skracać, skreślając dowolną liczbę zer końcowych. Nie zmienia to wartości ułamka.

 

0,5000 = 0,500 = 0,50 = 0,5












20:39, matematycznie , Ułamki
Link Dodaj komentarz »
Ułamki dziesiętne - cd

Ułamki dziesiętne, podobnie jak liczby naturalne, zapisujemy w dziesiętnym układzie pozycyjnym:

 

 

Cyfry grupujemy od prawej do lewej, po trzy od końca.

 

pozycje liczb naturalnych

 

W zapisie możemy też zastosować kropki, oddzielające poszczególne grupy od siebie:

 

3.825.747

 

Tu też mamy ciekawostkę związaną z językiem angielskim. Otóż w angielskim oddzielamy poszczególne grupy od siebie przecinkami:

Powyższy przykład zapisany po angielsku wyglądałby tak:

 

3,825,747

 

A ponieważ wcześniej mówiliśmy o zapisie ułamków dziesiętnych po polsku i po angielsku to zobaczmy od razu, jak wyglądałaby liczba z ułamkiem dziesiętnym w obu językach:

 

Po polsku:

 

 

3.825.747,385

 

Po angielsku:

 

3,825,747.385

 

 

Cyfry te same, liczba wygląda zupełnie inaczej, zapis angielski w Polsce jest rozumiany zupełnie inaczej, i na odwrót. Ponieważ w różnych sytuacjach spotykamy się z tekstami angielskimi to trzeba sobie zdawać sprawę z tej różnicy.

 

 




20:15, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
czwartek, 16 lutego 2012
Ułamki dziesiętne

Od poprzedniego wpisu minęło półtora miesiąca. Przepraszam za tak długą przerwę i biorę się do pracy – zamieszczam kolejne wpisy.

 

 

We wpisach wcześniejszych dość dokładnie i wyczerpująco zostały omówione ułamki zwykłe. Teraz przyszła kolej na ich bliskich krewnych – ułamki dziesiętne. Znacznie łatwiejsze w obliczeniach, chociaż wcale nie łatwiejsze do zrozumienia.

 

Trochę teorii:

 

Ułamkami dziesiętnymi nazywamy takie ułamki, których mianownikiem są liczby 10, 100, 1000 i inne wielokrotności 10. Czyli ułamek dziesiętny zawsze ma w mianowniku 10 lub wielokrotność 10.

 

Na przykład:

 

 

 

Ułamki zamieszczone powyżej mają w mianowniku 10 lub wielokrotność 10, ale zapisane są jak ułamki zwykłe. Ułamki dziesiętne zapisujemy jednak nieco inaczej, bez kreski ułamkowej. Najpierw zapisujemy część całkowitą, potem przecinek dziesiętny i część ułamkową.

Jeżeli w ułamku nie ma części całkowitej to wpisujemy 0, wstawiamy przecinek i następnie część ułamkową.

 

Powyższe przykłady zapisane jako ułamki dziesiętne wyglądają tak:

 

  czytamy „trzy dziesiąte”

 

 

  czytamy „dwadzieścia trzy setne”

 

  czytamy „trzy i siedem dziesiątych”

 

  czytamy „15 i dwieście osiemdziesiąt osiem tysięcznych” (poprawna jest też forma „tysiącznych”, można spotkać się z jedną lub drugą)

 

 

Należy uważać w przypadku zapisu ułamków dziesiętnych w języku angielskim. Zamiast przecinka używana jest tam kropka. Więc ostatni ułamek z powyższego przykładu wyglądał by tak: 15.288



00:06, matematycznie , Ułamki
Link Dodaj komentarz »
sobota, 31 grudnia 2011
Życzenia

Wszystkim czytelnikom bloga

życzymy

zdrowia, szczęścia i wszelkiej pomyślności

w nadchodzącym 2012 roku !!!

22:12, matematycznie
Link Dodaj komentarz »
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW - część 2

W poprzednim wpisie opisałam w jaki sposób oblicza się najmniejszą wspólną wielokrotność. Teraz chciałam wyjaśnić, po co nam jest ta umiejętność. Jak pisałam wcześniej, największy wspólny dzielnik potrzebny nam był, aby w prosty i elegancki sposób skracać ułamki. Najmniejsza wspólna wielokrotność też nam jest potrzebna, aby obliczać coś związanego z ułamkami.

 

Umiejętność obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności jest nam potrzebna do dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach, a więc wykorzystujemy ją do sprowadzania do wspólnego mianownika.

 

Na przykład:

Weźmy ułamek:

 

 

 Rozkładamy te ułamki (mianowniki) na czynniki pierwsze.

 



Zakreślamy kółeczkiem wszystkie czynniki, które się powtarzają w obu rozkładach:



 

 

Wspólne czynniki to 2, 2 i 2.

 

Obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność:

 

56 * 2 * 3 = 336

 

Pomnożyliśmy pierwszą liczbę przez te czynniki, które w jej rozkładzie nie występują (a występują w rozkładzie drugiej liczby).

W celu sprawdzenia możemy pomnożyć drugą liczbę przez czynniki, które występują w rozkładzie pierwszej liczby, a nie występują w rozkładzie drugiej. Jeżeli wynik będzie taki sam, to obliczenia są prawidłowe.

 

48 * 7 = 336

 

Oba wyniki są takie same, jak na razie obliczenia są poprawne.

 

Szukana przez nas najmniejsza wspólna wielokrotność to 336.

 

NWW (56, 48) = 336

 

 

Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie mianownikiem naszych ułamków.



 

Żeby sprawdzić ile wynoszą liczniki, musimy ustalić o ile razy musimy je powiększyć. W tym celu najpierw sprawdzamy ile razy zostały powiększone mianowniki.


Zrobienie tego jest proste, należy 336 (obliczony przez nas mianownik), podzielić przez liczbę wyjściową:

 

336 : 56 = 6

336 : 48 = 7

 

Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika, musimy zarówno licznik jak i mianownik tego samego ułamka pomnożyć przez tą samą liczbę. Wiemy już przez ile (6 i 7), więc możemy przestąpić do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika:

 




Ułamek  stanowi wynik naszego dodawania. Teraz należy go skrócić, czyli doprowadzić do jak najprostszej postaci. Takiej, która jest już nieskracalna.Czyli licznik i mianownik podzielić przez taką samą liczbę.


Wcześniej pisałam, jakie cechy liczb pozwalają na stwierdzenie, przez jakie liczby dana liczba jest podzielna.

 

Możemy zastosować tę wiedzę w praktyce.

W przypadku licznika – 81 – możemy dodać 8 + 1 co daje 9, czyli 81 jest podzielne przez 3 i przez 9.

Natomiast w przypadku 336 też możemy dodać cyfry do siebie i otrzymamy: 3 + 3 + 6 = 12, czyli 336 jest podzielne przez 3 i przez tę liczbę skrócimy nasz ułamek.

 

Czyli skrócenie ułamka wygląda następująco:





Możemy też obliczyć największy wspólny dzielnik (NWD), korzystając z teorii zamieszczonej we wcześniejszym wpisie:

 

Zaczynamy od rozkładu liczb na czynniki pierwsze:





W ten sposób też dowiedzieliśmy się, że największym wspólnym dzielnikiem liczb 81 i 336 jest liczba 3.

 

NWD (81, 336) = 3





22:09, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (2) »
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW

Najmniejszą wspólną wielokrotność dwu lub więcej liczb naturalnych wyznaczamy w następujący sposób:


Dane liczby (np.) 48 i 84 rozkładamy na czynniki pierwsze.

 

 

Mamy wspólne czynniki 2, 2 i 3. Iloczyn tych liczb to największy wspólny dzielnik (2 * 2 * 3 = 12).

Żeby obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność mnożymy jedną z liczb wyjściowych przez ten czynnik (lub te czynniki), które nie występowały w rozkładzie drugiej liczby.


W naszym przypadku mnożymy liczbę 48 przez 7 – 7 występuje tylko w rozkładzie drugiej liczby.


Możemy też pomnożyć 84 przez 2 * 2 – w rozkładzie liczby 48 występuje więcej czynników 2 niż w rozkładzie 84, więc 84 mnożymy przez nie.



Działanie wygląda następująco:

48 * 7 = 336
lub
84 * 2 * 2 = 336

Obliczona najmniejsza wspólna wielokrotność to 336.

Zapisujemy ją w następujący sposób:

NWW (48, 84) = 336

 

 

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech i więcej liczb możemy wyznaczyć na dwa sposoby.
Dane mamy liczby: 48, 72 i 40.



I sposób:

Przeprowadzamy rozkład na czynniki pierwsze:

 

 

Zaznaczamy wspólne czynniki:

 

 

Mnożymy liczby przez te czynniki, które nie występowały w ich własnym rozkładzie:

48 * 3 * 5 = 720

72 * 2 * 5 = 720

40 * 2 * 3 * 3 * 3 = 720

W mnożeniu nie uwzględniamy tych liczb, które występują w rozkładzie danej liczby. Dlatego mnożymy 48 przez 3 i 5, drugiej 3 nie uwzględniamy, ona już występuje w rozkładzie liczby 48. Podobnie w mnożeniu liczby 72 wystarczy pomnożenie przez 2 i 5, nie mnożymy przez 3, bo 3 już jest w rozkładzie liczby 72.

NWW (48, 72, 40) = 720

 

 

II sposób:

Rozkładamy na czynniki pierwsze dwie z liczb:

 

 

Zaznaczamy elementy wspólne:

 

 

Obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb:

48 * 3 = 144

NWW (48, 72) = 144

Teraz rozkładamy na czynniki pierwsze otrzymaną liczbę 144 i trzecią liczbę, 40.

 

 

Teraz zakreślamy wspólne czynniki:

 

 

Obliczamy teraz najmniejszą wspólną wielokrotność:

144 * 5 = 720

NWW (144, 40) = 720


14:17, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
niedziela, 25 grudnia 2011
Największy wspólny dzielnik – NWD

Czasem natrafiamy na ułamek tworzony przez dwie duże liczby i musimy go skrócić. Możemy oczywiście skracać po kolei przez kolejne liczby, przez które i licznik i mianownik są podzielne, ale nie wygląda to dobrze, nie wygląda to fachowo. Jeżeli chcemy to zrobić w sposób naprawdę ładny i elegancki – z pomocą przychodzi nam zastosowanie największego wspólnego dzielnika.

 

 

Teraz parę słów o tym jak go odnaleźć.

 

Największy wspólny dzielnik kilku liczb, to największa liczba, przez którą dzielą się wszystkie te liczby.

 

 

Dla przykładu poszukamy NWD dla 48 i 72.

 

Najpierw rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze:



 

Mamy już rozkład liczb na czynniki pierwsze.

 

Teraz zakreślamy te czynniki, które występują wspólnie (i w jednym i drugim przypadku).



 

Wspólne czynniki dla liczb 48 i 72 to: 2, 2, 2 i 3.

Teraz należy je pomnożyć przez siebie:

 

2 * 2 * 2 * 3 = 24

 

i mamy liczbę 24, która jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 72. Jeżeli mielibyśmy ułamek  to po skróceniu go przez 24 otrzymalibyśmy  . Moglibyśmy oczywiście skracać przez poszczególne czynniki pierwsze, ale poprawne i prawidłowe jest skrócenie ułamka raz, przez największą możliwą liczbą.

 

Zapis największego wspólnego dzielnika wygląda następująco:

 

NWD [48, 72] = 2 * 2 * 2 * 3 = 24

 



01:56, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
Wesołych Świąt

Wszystkim naszym Czytelnikom i Fanom


życzymy spokojnych

i rodzinnych świąt Bożego Narodzenia

01:19, matematycznie
Link Dodaj komentarz »
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... 9




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną matematyka@matematycznie.za.pl