Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
sobota, 31 grudnia 2011
Życzenia

Wszystkim czytelnikom bloga

życzymy

zdrowia, szczęścia i wszelkiej pomyślności

w nadchodzącym 2012 roku !!!

22:12, matematycznie
Link Dodaj komentarz »
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW - część 2

W poprzednim wpisie opisałam w jaki sposób oblicza się najmniejszą wspólną wielokrotność. Teraz chciałam wyjaśnić, po co nam jest ta umiejętność. Jak pisałam wcześniej, największy wspólny dzielnik potrzebny nam był, aby w prosty i elegancki sposób skracać ułamki. Najmniejsza wspólna wielokrotność też nam jest potrzebna, aby obliczać coś związanego z ułamkami.

 

Umiejętność obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności jest nam potrzebna do dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach, a więc wykorzystujemy ją do sprowadzania do wspólnego mianownika.

 

Na przykład:

Weźmy ułamek:

 

 

 Rozkładamy te ułamki (mianowniki) na czynniki pierwsze.

 



Zakreślamy kółeczkiem wszystkie czynniki, które się powtarzają w obu rozkładach:



 

 

Wspólne czynniki to 2, 2 i 2.

 

Obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność:

 

56 * 2 * 3 = 336

 

Pomnożyliśmy pierwszą liczbę przez te czynniki, które w jej rozkładzie nie występują (a występują w rozkładzie drugiej liczby).

W celu sprawdzenia możemy pomnożyć drugą liczbę przez czynniki, które występują w rozkładzie pierwszej liczby, a nie występują w rozkładzie drugiej. Jeżeli wynik będzie taki sam, to obliczenia są prawidłowe.

 

48 * 7 = 336

 

Oba wyniki są takie same, jak na razie obliczenia są poprawne.

 

Szukana przez nas najmniejsza wspólna wielokrotność to 336.

 

NWW (56, 48) = 336

 

 

Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie mianownikiem naszych ułamków.



 

Żeby sprawdzić ile wynoszą liczniki, musimy ustalić o ile razy musimy je powiększyć. W tym celu najpierw sprawdzamy ile razy zostały powiększone mianowniki.


Zrobienie tego jest proste, należy 336 (obliczony przez nas mianownik), podzielić przez liczbę wyjściową:

 

336 : 56 = 6

336 : 48 = 7

 

Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika, musimy zarówno licznik jak i mianownik tego samego ułamka pomnożyć przez tą samą liczbę. Wiemy już przez ile (6 i 7), więc możemy przestąpić do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika:

 




Ułamek  stanowi wynik naszego dodawania. Teraz należy go skrócić, czyli doprowadzić do jak najprostszej postaci. Takiej, która jest już nieskracalna.Czyli licznik i mianownik podzielić przez taką samą liczbę.


Wcześniej pisałam, jakie cechy liczb pozwalają na stwierdzenie, przez jakie liczby dana liczba jest podzielna.

 

Możemy zastosować tę wiedzę w praktyce.

W przypadku licznika – 81 – możemy dodać 8 + 1 co daje 9, czyli 81 jest podzielne przez 3 i przez 9.

Natomiast w przypadku 336 też możemy dodać cyfry do siebie i otrzymamy: 3 + 3 + 6 = 12, czyli 336 jest podzielne przez 3 i przez tę liczbę skrócimy nasz ułamek.

 

Czyli skrócenie ułamka wygląda następująco:





Możemy też obliczyć największy wspólny dzielnik (NWD), korzystając z teorii zamieszczonej we wcześniejszym wpisie:

 

Zaczynamy od rozkładu liczb na czynniki pierwsze:





W ten sposób też dowiedzieliśmy się, że największym wspólnym dzielnikiem liczb 81 i 336 jest liczba 3.

 

NWD (81, 336) = 3





22:09, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (2) »
Najmniejsza wspólna wielokrotność NWW

Najmniejszą wspólną wielokrotność dwu lub więcej liczb naturalnych wyznaczamy w następujący sposób:


Dane liczby (np.) 48 i 84 rozkładamy na czynniki pierwsze.

 

 

Mamy wspólne czynniki 2, 2 i 3. Iloczyn tych liczb to największy wspólny dzielnik (2 * 2 * 3 = 12).

Żeby obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność mnożymy jedną z liczb wyjściowych przez ten czynnik (lub te czynniki), które nie występowały w rozkładzie drugiej liczby.


W naszym przypadku mnożymy liczbę 48 przez 7 – 7 występuje tylko w rozkładzie drugiej liczby.


Możemy też pomnożyć 84 przez 2 * 2 – w rozkładzie liczby 48 występuje więcej czynników 2 niż w rozkładzie 84, więc 84 mnożymy przez nie.



Działanie wygląda następująco:

48 * 7 = 336
lub
84 * 2 * 2 = 336

Obliczona najmniejsza wspólna wielokrotność to 336.

Zapisujemy ją w następujący sposób:

NWW (48, 84) = 336

 

 

Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech i więcej liczb możemy wyznaczyć na dwa sposoby.
Dane mamy liczby: 48, 72 i 40.



I sposób:

Przeprowadzamy rozkład na czynniki pierwsze:

 

 

Zaznaczamy wspólne czynniki:

 

 

Mnożymy liczby przez te czynniki, które nie występowały w ich własnym rozkładzie:

48 * 3 * 5 = 720

72 * 2 * 5 = 720

40 * 2 * 3 * 3 * 3 = 720

W mnożeniu nie uwzględniamy tych liczb, które występują w rozkładzie danej liczby. Dlatego mnożymy 48 przez 3 i 5, drugiej 3 nie uwzględniamy, ona już występuje w rozkładzie liczby 48. Podobnie w mnożeniu liczby 72 wystarczy pomnożenie przez 2 i 5, nie mnożymy przez 3, bo 3 już jest w rozkładzie liczby 72.

NWW (48, 72, 40) = 720

 

 

II sposób:

Rozkładamy na czynniki pierwsze dwie z liczb:

 

 

Zaznaczamy elementy wspólne:

 

 

Obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb:

48 * 3 = 144

NWW (48, 72) = 144

Teraz rozkładamy na czynniki pierwsze otrzymaną liczbę 144 i trzecią liczbę, 40.

 

 

Teraz zakreślamy wspólne czynniki:

 

 

Obliczamy teraz najmniejszą wspólną wielokrotność:

144 * 5 = 720

NWW (144, 40) = 720


14:17, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
niedziela, 25 grudnia 2011
Największy wspólny dzielnik – NWD

Czasem natrafiamy na ułamek tworzony przez dwie duże liczby i musimy go skrócić. Możemy oczywiście skracać po kolei przez kolejne liczby, przez które i licznik i mianownik są podzielne, ale nie wygląda to dobrze, nie wygląda to fachowo. Jeżeli chcemy to zrobić w sposób naprawdę ładny i elegancki – z pomocą przychodzi nam zastosowanie największego wspólnego dzielnika.

 

 

Teraz parę słów o tym jak go odnaleźć.

 

Największy wspólny dzielnik kilku liczb, to największa liczba, przez którą dzielą się wszystkie te liczby.

 

 

Dla przykładu poszukamy NWD dla 48 i 72.

 

Najpierw rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze:



 

Mamy już rozkład liczb na czynniki pierwsze.

 

Teraz zakreślamy te czynniki, które występują wspólnie (i w jednym i drugim przypadku).



 

Wspólne czynniki dla liczb 48 i 72 to: 2, 2, 2 i 3.

Teraz należy je pomnożyć przez siebie:

 

2 * 2 * 2 * 3 = 24

 

i mamy liczbę 24, która jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 72. Jeżeli mielibyśmy ułamek  to po skróceniu go przez 24 otrzymalibyśmy  . Moglibyśmy oczywiście skracać przez poszczególne czynniki pierwsze, ale poprawne i prawidłowe jest skrócenie ułamka raz, przez największą możliwą liczbą.

 

Zapis największego wspólnego dzielnika wygląda następująco:

 

NWD [48, 72] = 2 * 2 * 2 * 3 = 24

 



01:56, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
Wesołych Świąt

Wszystkim naszym Czytelnikom i Fanom


życzymy spokojnych

i rodzinnych świąt Bożego Narodzenia

01:19, matematycznie
Link Dodaj komentarz »
sobota, 17 grudnia 2011
Rozkład na czynniki pierwsze - cd

I jeszcze kilka przykładów rozkładu na czynniki pierwsze:



 

2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 576

 

 

 

2 * 2 * 3 * 61 = 732

 

 

Rozkładając liczbę na czynniki pierwsze możemy znaleźć wszystkie jej dzielniki. Dzielnikami tymi są wszystkie jej czynniki pierwsze a także wszystkie iloczyny tych czynników.

 

Jako przykład rozpatrzymy liczbę 24:

 

Dzielnikami są liczby 2 i 3, ale również ich iloczyny:

 

2 * 2 = 4

2 * 2 * 2 =8

2 * 3 = 6

2 * 2 * 3 = 12

 

Jak widać iloczynami liczby 24 są: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24

 

Liczby 1 i 24 też są dzielnikami, ponieważ każda liczba dzieli się przez 1 i przez samą siebie. Liczba 24 ma 8 dzielników.

 

Dzielniki liczny 24 możemy zapisać tak:

 

Dzielniki24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

 

23:26, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (1) »
poniedziałek, 05 grudnia 2011
Rozkład na czynniki pierwsze

Za nami mała dygresja na temat sprowadzania do wspólnego mianownika. Teraz wracamy do liczb pierwszych, złożonych itp.

 

 

Na początek definicja:

 

Rozłożenie liczby złożonej na czynniki pierwsze to przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych.

 

12 = 3 * 2 * 2

 

 

Każdą liczbę złożoną można przedstawić w postaci iloczynu czynników pierwszych.

 

Rozkładu liczby złożonej na czynniki pierwsze dokonujemy dzieląc każdą liczbę złożoną przez jej dzielniki (które są liczbami pierwszymi). Zaczynamy od najmniejszego dzielnika.

 

Rozłożymy na czynniki liczbę 18. W czasie przeprowadzania rozkładu stosujemy następujący zapis:



Więc

 

18 = 2 * 3 * 3 (iloczyn czynników pierwszych)

 

 

A teraz inne przykłady:

 

175:

 

Sprawdzamy 2:

 

175 : 2 = 87 reszta 1

 

Jak widać 175 nie dzieli się przez 2, szukamy dalej.

 

Następna liczbą pierwszą jest 3:

 

175 : 3 = 58 reszta 1

 

Przez 3 też 175 się nie dzieli.

 

Sprawdzamy przez 4:

 

175 : 4 = 43 reszta 3

 

Więc 4 też nie jest czynnikiem pierwszym w liczbie 175

 

Kolejną liczbą pierwszą jest 5:

 

175 : 5 = 35

 

Trafiliśmy – pierwszym czynnikiem jest 5.

 

Jeżeli zastosujemy wiedzę z jednego z wcześniejszych wpisów to nie będziemy musieli nic zgadywać.

 

Liczba 2 odpada automatycznie, bo 175 nie jest parzysta, więc nie może się dzielić przez 2.

4 odpada, bo w ogóle nie jest liczbą pierwszą.

3 odpada, bo 1 + 7 + 5 = 13, a 13 nie jest podzielne przez 3.

5 pasuje, bo ostatnią cyfrą w liczbie 175 jest 5.

 

I w ten sposób ułatwiliśmy sobie trochę pracy:)

 




Prościej można to zapisać bez uzasadniania, po prostu same liczby.



175 = 5 * 5 * 7

 

 

I kolejny przykład:

 

 

96 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3



23:00, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną matematyka@matematycznie.za.pl