Kategorie: Wszystkie | Arytmetyka | Liczby rzymskie | Procenty | Ułamki
RSS
piątek, 02 listopada 2012
Dzielenie pisemne liczb naturalnych

Jak pamiętamy w dzieleniu mamy dzielną i dzielnik.

Dzielna to liczba, którą się dzieli, a dzielnik to ta, która dzieli.

W zapisie wygląda to tak:

 

dzielenie liczb naturalnych



Tak wygląda każde dzielenie. Jednak jeżeli chcemy podzielić pisemnie, to musimy zapisać to w specjalny sposób.

W jednym rzędzie zapisujemy dzielną i dzielnik, pomiędzy nimi znak dzielenie (:), ale nad dzielną rysujemy kreskę, nad którą potem zapisujemy kolejne cyfry wyliczone w procesie dzielenia, aż do otrzymania wyniku (ilorazu).

 

 

Wygląda to tak:



dzielenie liczb naturalnych

 

Teraz, na przykładzie 325 : 5 prześledzimy jak dokładnie wygląda dzielenie pisemne:


 

W dzieleniu cyfry dzielnej rozpatrujemy pojedynczo.


Bierzemy pierwszą cyfrę dzielnej i sprawdzamy czy mieści się w niej dzielnik a jeżeli mieści to ile razy. Nie ma znaczenia, czy takie dzielenie daje resztę czy nie. Następnie otrzymany wynik zapisujemy nad kreską (tylko całe liczby, bez reszty).

 

W naszym przypadku pierwszą liczbą dzielnej jest 3 a dzielnikiem 5.

 

3 : 5 = ?

 

5 nie mieści się w 3, więc nie otrzymujemy (w tym przypadku żadnego wyniku).

 

Jeżeli mamy taką sytuację, to musimy rozpatrzeć więcej niż jedną cyfrę dzielnej. Czyli liczbę, jaką jest połączona pierwsza i druga cyfra dzielnej. Jeżeli w dalszym ciągu nie możemy zmieścić dzielnika w tej liczbie, dobieramy jeszcze kolejną. I tak do skutku. W tym przykładzie musimy wziąć jeszcze jedną cyfrę – 3 i 2. razem 32

 

32 : 5 = 6 reszty 2

 

Resztę na razie pomijamy, a 6 zapisujemy nad kreską.

Ważne! Zapisujemy wynik z tego cząstkowego dzielenia nad ostatnią cyfrą dzielnej, którą wzięliśmy do dzielenia. Czyli skoro w naszym przypadku nie piszemy nic nad 3, zostawiamy miejsce puste i wynik (6) zapisujemy nad 2.


Wygląda to tak:

 

dzielenie liczb naturalnych



Teraz wykonujemy mnożenie. Liczbę zapisaną jako wynik mnożymy przez dzielnik i wynik tego mnożenia zapisujemy pod dzielną. Otrzymany wynik zapisujemy od końca (czyli od ostatniej liczby jak wchodziła w skład liczby dzielonej w lewo).

 

6 * 5 = 30

 

I 30 zapisujemy w naszym dzieleniu. Wygląda to tak:

 

dzielenie liczb naturalnych

 

Teraz należy przeprowadzić odejmowanie. Od liczby utworzonej z cyfr wziętych do dzielenia odejmujemy wynik. 

 

Dopisujemy to do pisemnego dzielenia wynik odejmowania.

 

Zapis wygląda tak:



dzielenie liczb naturalnych

 

Ponieważ 3 – 3 daje 0 to miejsce jakie tam mamy wykreślamy za pomocą =.

 

Teraz należy do otrzymanej w wyniku odejmowania cyfry 2 dopisujemy kolejną cyfrę z dzielnej. W naszym przypadku to ostania cyfra – 5. dalsze obliczenia będziemy przeprowadzać na tej liczbie.

 

Zapis wygląda tak:



dzielenie liczb naturalnych

 

Dzielimy 25 przez 5.

 

25 : 5 = 5

 

Otrzymane 5 zapisujemy nad kreską, potem je mnożymy przez dzielnik i wynik zapisujemy w kolejnym, niższym rzędzie.


Wygląda to tak:



dzielenie liczb naturalnych

 

 

Wynikiem mnożenia jest liczba 65.


Taka liczba jest zapisana nad kreską ponad dzielną.

 

Aby sprawdzić, czy dzielenie zostało wykonane prawidłowo należy pomnożyć otrzymany wynik przez dzielnik.

 

65 * 5 = 325

 

Jak widać mnożenie zostały wykonane prawidłowo.



 

21:22, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (5) »
niedziela, 30 września 2012
100 000

Historyczna chwila:)

Dzisiaj nastąpiło 100 000 (stu tysięczne !) wejście na bloga.

Dziękuję i mam nadzieję, że wiadomości się przydają:)

19:16, matematycznie
Link Komentarze (2) »
czwartek, 13 września 2012
Mnożenie ułamków dziesiętnych - przykłady

W poprzednim wpisie opisałam, w jaki sposób mnożyć pisemnie. Teraz pora na przedstawienie kilku przykładów. W nauczeniu się liczenia pomoże samodzielna próba policzenia.

Tak więc najpierw podam przykład mnożenia, a potem dopiero sposób liczenia i wynik. Jeżeli chcecie, to zachęcam do samodzielnego rozwiązania, a potem dopiero sprawdzenia.

 

Pamiętajcie! Najpierw trzeba odpowiednio dobrze podpisać pod sobą czynniki, potem wymnożyć każdą cyfrę przez każdą cyfrę, odpowiednio podpisać, następnie pododawać je w słupku, policzyć przecinki i wstawić w odpowiednim miejscu w wyniku przecinek.

 

Zapraszam do samodzielnej próby:

 

 

Na początek coś łatwego:

 

0,734 * 3 = ?

 

 

mnożenie pisemne ułamków

 Zapisujemy czynniki w słupku, tak, żeby były dosunięte do prawej strony. Teraz rozpoczynamy mnożenie. 

 

mnożenie pisemne ułamków


Jak pomnożyliśmy:

 

4 * 3 = 12

 

2 zapisujemy pod 4 a 1 na razie zachowujemy w pamięci.

 

3 * 3 = 9

 

Dodajemy 1 „z pamięci”, otrzymujemy 10 (9 + 1 = 10) i 0 zapisujemy pod 3, 1 zatrzymujemy „w pamięci”.



7 * 3 = 21

 

Dodajemy 1 do 21, otrzymujemy 22 i podpisujemy pod 7 i 0.

 

Otrzymujemy:



mnożenie pisemne ułamków

 

Ponieważ w liczbie 0,734 mamy trzy miejsca po przecinku, więc w wyniku wstawiamy przecinek za trzecią cyfrą licząc od prawej.

 

mnożenie pisemne ułamków



Otrzymujemy 2,202 i to jest nasz wynik. Czy tak samo Wam wyszło?

 

 

 

Następny przykład:

 

 

212,281 * 2,52 = ?

 

 

Obliczenia wyglądają następująco:



mnożenie pisemne ułamków

 

Ponieważ w czynnikach jest w sumie pięć miejsc po przecinku, więc w wyniku wstawiamy przecinek po piątym miejscu od prawej strony. Otrzymujemy wynik 534, 94812

 

 

Jeszcze jeden przykład:

 

mnożenie pisemne ułamków


 W czynnikach są trzy miejsca po przecinku i po wymnożeniu wstawiamy przycinek w trzecie miejsce od prawej strony. 

 

16:41, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (5) »
poniedziałek, 10 września 2012
Mnożenie ułamków dziesiętnych

Ułamki dziesiętne mnoży się bardzo podobnie do mnożenia liczb naturalnych. Po prostu przy mnożeniu pisemnym zapisujemy je pod sobą, tak, jakby były to liczby naturalne, na chwilę zapominając o przecinku. „Zapominamy” w cudzysłowie, dalej przecinki są na swoich miejscach, musimy je koniecznie zapisywać. I jak najbardziej mają wpływ na wynik. Ale na krótki moment, kiedy wykonujemy działania, wykonujemy je tak, jakby nie było przecinków.

 

Po uzyskaniu wyniku liczymy ile mieliśmy w czynnikach przecinków (w sumie, we wszystkich) i oddzielamy przecinkiem tyle liczb (od prawej do lewej) ile było przecinków.

 

Zobaczymy teraz to na przykładzie:



mnożenie ułamków dziesiętnych

Tak wygląda nasze działanie.

 

A tak będzie wyglądało zapisane i policzone pisemnie:

 

Teraz zobaczymy to, co tłumaczyłam wcześniej.

Zapisujemy liczby, tak samo jakbyśmy zapisywali liczby naturalne, to znaczy jedną nad drugą, dosunięte do prawej strony:



mnożenie ułamków dziesiętnych

Następnie mnożymy je tak, jak normalne liczby, nie zwracając uwagi na przecinki.



mnożenie ułamków dziesiętnych

 

Po wymnożeniu dodajemy do siebie oba ilorazy:



mnożenie ułamków dziesiętnych

 

 

I teraz, żeby otrzymać kompletny wynik bierzemy i wstawiamy przecinki. Ponieważ z liczbie 12,52 mamy dwa miejsca po przecinku a w liczbie 1,3 jedno, to w sumie mamy trzy miejsca po przecinku. I tyle wstawiamy w otrzymanej na końcu sumie



mnożenie ułamków dziesiętnych

 

Otrzymujemy wynik !



17:59, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (2) »
sobota, 16 czerwca 2012
Zaproszenie do zwiedzania Krakowa

Wszystkich fanów i czytelników bloga Matematycznie zapraszam też na moją stronę firmową www.justkrakow.pl (mało związaną z matematyką) i do zwiedzania Krakowa razem ze mną.

 

kosciól Mariacki w Krakowie

11:05, matematycznie
Link Dodaj komentarz »
piątek, 08 czerwca 2012
Mnożenie ułamków dziesiętnych przez 10; 100 i 1000

Ciekawym i szczególnym zagadnieniem związanym z mnożeniem ułamków dziesiętnych jest mnożenie ich przez liczby takie jak 10; 100; 1000 i wyższe – wielokrotności liczby 10.

 

Jeżeli mnożymy ułamek przez taką liczbę, to właściwie wcale nie musimy wykonywać mnożenia. Wystarczy, że przesuniemy przecinek w prawo o tyle miejsc, ile mnożnik ma zer.

 

Jeżeli mnożymy przez 10, to przecinek przesuwamy w prawo o jedno miejsce.

Jeżeli mnożymy przez 100, to przecinek przesuwamy w prawo o dwa miejsca.

Jeżeli mnożymy przez 1000, to przecinek przesuwamy w prawo o trzy miejsca.

 

I tak dalej.....

 

 

 

A teraz garść przykładów:

 

3,68 * 10 = 36,8 – czyli przecinek został przesunięty o jedno miejsce w prawo (bo liczba 10, nasz mnożnik, ma jedno 0).

 

15,732 * 100 = 1573,2 – przecinek został przesunięty w prawo o dwa miejsca (bo liczba 100, nasz mnożnik w tym przypadku, ma dwa zera).

 

 

Może się też zdarzyć, że po wymnożeniu otrzymujemy liczę już bez przecinka.

 

Na przykład:

 

15,34 * 100 = 1534 – ponieważ mnożnikiem była liczba 100, przesunęliśmy przecinek o dwa miejsca. W liczbie mieliśmy tylko dwa miejsca po przecinku, czyli po przesunięciu przecinka otrzymaliśmy liczbę naturalną, a nie ułamek dziesiętny i tak właśnie zapisujemy – jako liczbę.

 

Inny przykład:

 

0,357 * 1000 = 357 – wynikiem jest liczba naturalna, ponieważ przecinek przesunęliśmy o trzy miejsca w prawo. Ułamek trzysta pięćdziesiąt siedem tysięcznych pomnożony razy tysiąc dał nam liczbę trzysta pięćdziesiąt siedem!

 



Podczas mnożenia przez liczbę 10 i jej wielokrotności możemy trafić na jeszcze jeden szczególny przypadek.

Może się zdarzyć, że nasza mnożna będzie miała mniej miejsc po przecinku niż nasz mnożnik zer.

 

Tak jak w poniższym przykładzie:

 

5,7 * 1000 – mnożnik ma trzy zera, czyli przesuwamy przecinek w prawo o trzy miejsca. Ale po przecinku mamy tylko jedno miejsce... jakie jest wyjście? Ano, liczba, którą otrzymamy jako wynik będzie znacznie większa, niż 5,7. Musimy przesunąć przecinek o trzy miejsca, ale skoro ich nie mamy, to znaczy, że musimy je dopisać. Wiadomo, że po przecinku w ułamku dziesiętnym możemy dopisywać sobie zera, jeżeli jest nam to potrzebne. Bo to i tak nie zmienia wartości ułamka.

 

5,7 = 5,700 – te liczby są równe sobie, mają dokładnie taką samą wartość.

 

Ale, ale, jeżeli obie liczby są sobie równe, to do naszego mnożenia możemy równie dobrze wziąć 5,7 jak i 5,700. Czyli możemy zapisać:

 

5,7 * 1000 = 5,700 * 1000 = 5700

 

Proste i logiczne. Żeby sobie jeszcze ułatwić, nie musimy w ogóle zapisywać, że w ułamku, w mnożnej, są zera.

 

Zapis:

5,7 * 1000 = 5700 – jest całkowicie poprawny

 

 

Możemy się też spotkać z przypadkiem następującym:

 

0,00583 * 1000 = 5,83 (nie zapisujemy 0005,83, pomijamy początkowe zera)



22:43, matematycznie , Ułamki
Link Komentarze (1) »
wtorek, 22 maja 2012
Mnożenie liczb naturalnych - liczby z zerami - cd

Nie pisałam przez ponad miesiąc. Najmocniej przepraszam, praca pochłania mi obecnie bardzo dużo czasu. Siadam nadrabiać zaległości.

 

Dzień przed maturą z matematyki strona zanotowała 700 wejść (to dwa, trzy razy więcej niż normalnie). Czujemy się zaszczycone, że mogłyśmy w jakimś zakresie pomóc w zdawaniu egzaminu.

 

 

A wracając do tematu mnożenia pisemnego....

 

Była mowa o mnożeniu liczb, które zawierają w sobie zero. W poprzednim przykładzie mieliśmy coś takiego na końcu. Jak ułatwić sobie mnożenie już opisałam. Często jednak trafia się, że zero jest w mnożniku, i to wcale nie na końcu. Na przykład:

 

        137

     * 205

 

 

Mnożenie wygląda tak:

 

 

 

Czyli mnożymy każdą cyfrę z „górnego rzędu” (mnożna) przez poszczególne cyfry z „dolnego rzędu” (mnożnik) a wyniki zapisujemy w rządku, zaczynając od cyfry, przez którą mnożymy. Na końcu trzy iloczyny (wyniki mnożenia) dodajemy do siebie w słupku i otrzymujemy kompletny wynik.

 

Patrząc na obliczenia zauważamy jedno – rząd zer, który uzyskaliśmy mnożąc 137 przez 0. Jak wiadomo, mnożenie dowolnej liczby przez 0 daje zawsze 0. Nie ma znaczenia, jak duża to będzie liczba. Jak widać na przykładzie:

 

500 * 0 = 0

483 094 389 * 0 = 0

1 * 0 = 0

 

Wiedząc o powyższym możemy sobie uprościć mnożenie pisemne. Nie będzie żadnej szkody dla naszego działania, ani obliczenia się nie zmienią jeżeli w przykładzie 137 *205 pominiemy zupełnie mnożenie przez zero. Musimy tylko pamiętać o podpisywaniu wyników mnożenia w odpowiednich miejscach!

 

Teraz mnożenie wygląda tak:

 

 

Jak widać, wynik jest taki sam.

 



23:15, matematycznie
Link Komentarze (2) »
poniedziałek, 16 kwietnia 2012
Mnożenie liczb naturalnych - liczby z zerami

Jeżeli mamy pomnożyć liczby zakończone zerami, to nasz zapis będzie wyglądał tak:

 

321 00

45 0

 

Musimy sobie wyobrazić, że odcinamy zera, przez chwilę będziemy liczyli tak, jakby ich nie było, wrócimy co nich za chwilę:



mnożenie zapis w słupku

 

A teraz wykonujemy mnożenie pisemne (o tym, jak się to robi pisałam wcześniej):



mnożenie i dodawanie

  

Pomnożyliśmy, liczbę 321 przez 45 i otrzymane wyniki 1605 i 1284 dodaliśmy do siebie. I tak dochodzimy do prawie kompletnego wyniku 14445. Prawie kompletnego, ale jeszcze nie całkiem.

 

I po tak długim wstępie dochodzimy wreszcie do najważniejszego, do tego, co jest tematem tego wpisu. Dodajemy zera!

 

I teraz liczymy, ile zer „odcięliśmy” i dopisujemy je na końcu działania.

 

mnożenie ze strzałką

 

I mamy gotowy wynik -

W tym przypadku są to trzy zera, więc dopisujemy na końcu wyniku trzy zera. Całość jest przedstawiona poniżej:

 

kompletny wynik

 

 

„U góry” w liczbie 321000 mieliśmy dwa 0, na „dole” w liczbie 450 jedno 0, razem 3 i dopisaliśmy trzy 0. Mamy kompletny wynik, czyli liczbę 14 445 000



10:17, matematycznie , Arytmetyka
Link Komentarze (2) »
piątek, 06 kwietnia 2012
Życzenia wielkanocne!

Wszystkim czytelnikom i sympatykom bloga matematycznie.blox.pl życzymy zdrowych, pogodnych i radosnych Świąt Wielkanocnych

 

 

                                              Jagoda i Stenia

23:33, matematycznie
Link Dodaj komentarz »
wtorek, 03 kwietnia 2012
Mnożenie liczb naturalnych

Jesteśmy przy działaniach na ułamkach dziesiętnych. Omówiłam dodawanie i odejmowanie, teraz pora na mnożenie. Ponieważ nie pisałam wcześniej niczego o mnożeniu pisemnym, a mnożenie ułamków dziesiętnych jest bardzo podobne do mnożenia pisemnie liczb naturalnych, zacznę od mnożenia liczb naturalnych, sposobem pisemnym.

 

Mnożenie przeprowadzimy na przykładzie mnożenia liczby 321 przez 123.

 

 

Podpisujemy liczby jedna pod drugą w poniższy sposób:

 

321

123

 

Musimy pomnożyć każdą liczbę przez każdą. Zaczynamy od tyłu.

Bierzemy po jednej liczbie z cyfry 123 (tej zapisanej  poniżej) po kolei i przez nią mnożymy cyfry liczby 321 (pojedynczo). Zapisujemy w rzędach, od końca, pierwszy wynik zapisujemy pod cyfrą, przez którą mnożymy, następne zapisujemy na kolejnych pozycjach w lewo.

 

Teraz już przerabiamy przykład. Mnożymy pojedynczo wszystkie cyfry z liczby 321 przez 3.

 

3 * 1 = 3

3 * 2 = 6

3 * 3 = 9

 

Wynik zapisujemy pod odpowiednimi cyframi.

mnożenie pisemne

 

Teraz bierzemy następną cyfrę, kolejną od końca, czyli – 2.



mnożenie pisemne

 

W czarnym kolorze są pozostawione wcześniej dokonane obliczenia, na kolorowo zaznaczyłam nowe. 

 

Mnożymy:

 

2 * 1 = 2

2 * 2 = 4

2 * 3 = 6

 

 

Teraz została nam w ostatnia cyfra – 1

 

mnożenie pisemne

 

 

Każdą cyfrę z liczby 321 mnożymy przez 1 i zapisujemy od końca. Znowu czarnym kolorem zapisane są wcześniejsze obliczenia, na kolorowo przykłady wyliczone teraz.

 

 

 

1 * 1 = 1

 

1 * 2 = 2

 

1 * 3 = 3

 

Na samym końcu uzyskane wyniki (iloczyny) musimy dodać. Dodając musimy pamiętać o zachowaniu odpowiednich miejsc jedności, dziesiątek, setek... jeżeli pomylimy się, wynik nie będzie prawidłowy. 

 

mnożenie pisemne

 

 

W ten sposób pisemnie pomnożyliśmy 321 przez 123, uzyskując wynik 39 483.



 

 



 

13:32, matematycznie , Arytmetyka
Link Dodaj komentarz »
 
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... 9




Przewodnik po Krakowie










Jeżeli masz pytania albo uwagi to będzie mi bardzo miło, jeżeli podzielisz się nimi ze mną matematyka@matematycznie.za.pl